Račun

Funkcija nima lokalnih ekstremov. f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 ni nikoli nedefiniran in je 0 samo pri x = -1. Torej je edina kritična številka -1. Ker je f '(x) pozitivna na obeh straneh -1, f nima niti najmanjše niti največje vrednosti na -1. Preberi več »

(0, -1) Lokalni ekstremi se pojavijo, ko je f '(x) = 0. Torej poiščite f '(x) in jo nastavite na 0. f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 Obstaja lokalni ekstrem pri (0, -1). Preverite graf: graf {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} Preberi več »

Ta funkcija nima lokalnih ekstremov. Pri lokalnem ekstremu moramo imeti f prime (x) = 0 Zdaj, f prime (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x + 8 Razmislimo, ali to lahko izgine. Da bi se to zgodilo, mora biti vrednost g (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x enaka -8. Ker je g prime (x) = (x ^ 2 + 10x + 11) e ^ x, so ekstremi od g (x) na točkah, kjer je x ^ 2 + 10x + 11 = 0, tj pri x = -5 pm sqrt {14}. Ker je g (x) do infty oz. 0 kot x do pm infty, je enostavno videti, da bo minimalna vrednost pri x = -5 + sqrt {14}. Imamo g (-5 + sqrt {14}) ~~ -1.56, tako da je minimalna vrednost f prime (x) ~~ 6.44 - tako, da nikoli ne more doseči ničle. Preberi več »

Parabolae imajo točno en ekstrem, to je vertex. Je (-4 1/2, -19 1/4). Ker je {d ^ 2 f (x)} / dx = 2, je funkcija povsod konkavna in ta točka mora biti minimalna. Imate dve koreni, da najdete vozlišče parabole: eno, uporabite račun, da bi našli, da je derivat nič; dva, izogibajte se računu za vsako ceno in dokončajte kvadrat. Uporabili bomo račun za prakso. f (x) = x ^ 2 + 9x + 1, moramo vzeti derivat tega. {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) Po linearnosti derivata imamo {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1). S pravilom moči imamo d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 Preberi več »

Lokalni ekstremi: x ~ ~ -1,15 x = 0 x ~ ~ 1.05 Najdi derivat f '(x) Set f' (x) = 0 To so vaše kritične vrednosti in potencialni lokalni ekstremi. S temi vrednostmi narišite številsko vrstico. Vključite vrednosti znotraj vsakega intervala; če je f '(x)> 0, se funkcija poveča. če je f '(x) <0, se funkcija zmanjšuje. Ko se funkcija spremeni iz negativne v pozitivno in je na tej točki neprekinjena, obstaja lokalni minimum; in obratno. f '(x) = [(3x ^ 2 + 4x) (3-5x) - (- 5) (x ^ 3 + 2x ^ 2)] / (3-5x) ^ 2 f' (x) = [9x ^ 2-15x ^ 3 + 12x-20x ^ 2 + 5x ^ 3 + 10x ^ 2] / (3-5x) ^ 2 f '(x) = (- 10x ^ 3 Preberi več »

X = 0, -4/3 Poišči derivat od f (x) = x ^ 2 (x + 2). Uporabiti morate pravilo izdelka. f '(x) = x ^ 2 + (x + 2) 2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f' (x) = x (3x + 4) Set f '(x) enaka nič, da bi našli kritične točke. x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f (x) ima lokalne ekstreme pri x = 0, -4/3. ALI f (x) ima lokalne ekstreme na točkah (0, 0) in (-4/3, 32/27). Preberi več »

Funkcija ima 2 ekstrema: f_ {max} (- 2) = 18 in f_ {min} (2) = - 14 Imamo funkcijo: f (x) = x ^ 3-12x + 2 Za iskanje ekstremov izračunamo derivat f '(x) = 3x ^ 2-12 Prvi pogoj za iskanje ekstremnih točk je, da te točke obstajajo le, kjer je f' (x) = 0 3x ^ 2-12 = 0 3 (x ^ 2-4) = 0) 3 (x-2) (x + 2) = 0 x = 2 vv x = -2 Zdaj moramo preveriti, ali izpeljanka spremeni znak na izračunanih točkah: graf {x ^ 2-4 [-10, 10, - 4.96, 13.06]} Iz grafa lahko vidimo, da ima f (x) maksimum za x = -2 in minimum za x = 2. Zadnji korak je izračun vrednosti f (-2) in f (2) Preberi več »

X ^ 3-3x + 6 ima lokalne ekstreme pri x = -1 in x = 1 Lokalni ekstremi funkcije se pojavijo na točkah, kjer je prvi derivat funkcije 0 in znak prvega izpada. To pomeni, da je za x, kjer je f '(x) = 0 in ali f' (x-varepsilon) <= 0 in f '(x + varepsilon)> = 0 (lokalni minimum) ali f' (x-varepsilon)> = 0 in f '(x + varepsilon) <= 0 (lokalni maksimum) Da bi našli lokalne ekstreme, moramo najti točke, kjer je f' (x) = 0. f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1), tako f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + -1 Če pogledamo znak f 'dobimo {(f' (x)&g Preberi več »

Maxima = 19 pri x = -1 Minimum = -89 atx = 5> f (x) = x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11 Najdemo lokalne ekstreme najprej najti kritično točko f '(x) = 3x ^ 2-12x-15 Set f '(x) = 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3 (x ^ 2-4x-5) = 0 3 (x-5) (x + 1) = 0 x = 5 ali x = -1 so kritične točke. Moramo narediti drugi test izpeljave f ^ ('') (x) = 6x-12 f ^ ('') (5) = 18> 0, tako da f doseže svoj minimum pri x = 5 in najmanjša vrednost je f (5) = - 89 f ^ ('') (- 1) = -18 <0, tako da f doseže svoj maksimum pri x = -1 in največja vrednost je f (-1) = 19 Preberi več »

Dano funkcijo ima točka minima, vendar zagotovo nima točke maksimumov. Podana funkcija je: f (x) = (x ^ 3-4x ^ 2-3) / (8x-4) Po diffrenceaciji, f '(x) = (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ^ 2) Za kritične točke moramo nastaviti, f '(x) = 0. pomeni (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ) ^ 2) = 0 pomeni x ~ ~ -0.440489 To je točka ekstremov. Da bi preverili, ali funkcija dosega maksimum ali minimum na tej določeni vrednosti, lahko izvedemo drugi test izpeljave. f '' (x) = (4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16) / (2 * (2x-1) ^ 3) f '' (- 0,44)> 0 Ker je drugi derivat pozitiven v tej točki to pomeni, da funkc Preberi več »

Ena realna kritična točka te funkcije je x približno -9.01844. Na tej točki se pojavi lokalni minimum. S kvocientnim pravilom je derivat te funkcije f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = ( 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) Ta funkcija je enaka nič, če in samo če je 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0. Korenine tega kubika vključujejo negativno iracionalno (realno) število in dve kompleksni številki. Pravi koren je x približno -9.01844. Če vtipkate število, ki je manj kot to, v f ', boste dobili negativni izhod in če v f' priključite številko, ki je večja od te, boste dobili pozitivni izhod. Zato Preberi več »

(0,14414, 0,05271) je lokalni maksimum (1,45035, 0,00119) in (-1,59449, -1947,21451) so lokalni minimumi. . f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo To se ne šteje za lokalni ekstrem. 3x ^ 3-7x + 1 = 0 Za korenine kubične funkcije uporabimo Newton-Raphsonovo metodo: x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) iterativni proces, ki nas bo približal korenu funkcije. Tukaj ne vključujem dolgotrajnega procesa, ampak ko sem prišel do prvega korena, lahko izvedemo dolgo deli Preberi več »

F_min = f (1) = 0 f_max = f (e ^ (- 2)) cca 0,541 f (x) = (xlnx) ^ 2 / x = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x = x ( lnx) ^ 2 Uporaba pravila izdelka f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 = (lnx) ^ 2 + 2lnx Za lokalne maksimume ali minimume: f' (x) = 0 Naj bo z = lnx:. z ^ 2 + 2z = 0 z (z + 2) = 0 -> z = 0 ali z = -2 Zato za lokalni maksimum ali minimum: lnx = 0 ali lnx = -2: .x = 1 ali x = e ^ -2 približno 0,135 Zdaj preglejte graf x (lnx) ^ 2 spodaj. graf {x (lnx) ^ 2 [-2.566, 5.23, -1.028, 2.87]} Opazimo lahko, da ima poenostavljeni f (x) lokalni minimum pri x = 1 in lokalni maksimum pri x v (0, 0.25). : f_min = f (1 Preberi več »

Po grafični metodi je lokalni maksimum 1,63, skoraj na prelomnici (-0,555, 1,364), skoraj. Krivulja ima asimptoto y = 0 larr, os x. Približki prelomne točke (-0.555, 1.364) so bili pridobljeni s premikanjem linij vzporedno z osmi, da bi se srečale pri zenitu. Kot je prikazano v grafu, je mogoče dokazati, da kot x do -oo, y do 0 in, kot x do oo, y do -oo #. graf {(1 / sqrt (x ^ 2 + e ^ x) -xe ^ x-y) (y-1.364) (x + .555 + .001y) = 0 [-10, 10, -5, 5]} Preberi več »

Imamo maxima pri x = 0 As f (x) = - 2x ^ 2 + 9, f '(x) = - 4x As f' (x) = 0 za x = 0, zato imamo lokalni ekstremi pri x = -9 / 4 Nadalje, f '' (x) = - 4 in s tem pri x = 0 imamo maksimum pri x = 0 grafu {-2x ^ 2 + 9 [-5, 5, -10, 10] } Preberi več »

Lokalnih ekstremov ni. Lokalni ekstremi se lahko pojavijo, ko f '= 0 in ko f' preide iz pozitivnega v negativno ali obratno. f (x) = x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f '(x) = - x ^ -2 - (- 3x ^ -4) + 5x ^ 4-1 pomnoženo z x ^ 4 / x ^ 4: f '(x) = (- x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4) / x ^ 4 = (5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 Lokalni ekstremi se lahko pojavijo, ko je f '= 0. Ker ne moremo rešiti, če se to zgodi algebraically, graf f ': f' (x): graf {(5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 [-5, 5, -10.93, 55]} f 'nima ničel. Tako f nima ekstremov. Lahko preverimo z grafom f: grafa {x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x [-5, 5, -118. Preberi več »

Lokalni ekstremi so -2sqrt (6) pri x = -sqrt (3/2) in 2sqrt (6) pri x = sqrt (3/2). Da bi jih našli, bomo najprej našli derivat f '(x) in nato rešili za f' (x) = 0. f '(x) = d / dx (2x + 3 / x) = (d / dx2x) ) + d / dx (3 / x) = 2 - 3 / x ^ 2 Naprej, reševanje za f '(x) = 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt (3/2) Tako, da ocenimo prvotno funkcijo na teh točkah, dobimo -2sqrt (6) kot lokalni maksimum pri x = -sqrt (3/2) in 2sqrt (6) kot lokalni minimum pri x = sqrt (3/2) Preberi več »

Minima f: 38.827075 pri x = 4.1463151 in drugo za negativno x. Kmalu bi obiskal tukaj, z drugim minimumom. V bistvu je f (x) = (biquadratic v x) / (x-1) ^ 2. Z metodo delnih frakcij f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + 3 / (x-1) + 42 / (x-1) ^ 2 Ta oblika razkriva asimptotično parabolo y = x ^ 2 + 3x +4 in navpična asimptota x = 1. Kot x do + -oo, f do oo. Prvi graf razkriva parabolično asimptoto, ki je nizka. Druga razkriva graf na levi strani navpične asimptote, x = 1, tretji pa za desno stran. To je primerno, da se prikažejo lokalni minimumi f = 6 in 35, skoraj z uporabo numerične iterativne metode z zaganjalnikom x_0 = 3, Q_1 najm Preberi več »

F_ (min) = f (1/4 + 2 ^ (- 5/3)) = (2 ^ (2/3) + 3 + 2 ^ (5/3)) / 4. Opazujte, da je f (x) = 4x ^ 2-2x + x / (x-1/4); x v RR- {1/4}. = 4x ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {(x-1/4) +1/4} / (x-1/4); xne1 / 4 = (2x-1/2) ^ 2-1 / 4 + {(x-1/4) / (x-1/4) + (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4 = 4 (x-1/4) ^ 2-1 / 4 + {1+ (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4:. f (x) = 4 (x-1/4) ^ 2 + 3/4 + (1/4) / (x-1/4); xne1 / 4. Zdaj, za lokalne ekstreme, f '(x) = 0, in, f' '(x)> ali <0, "kot" f_ (min) ali f_ (max), "resp." f '(x) = 0 rArr 4 {2 (x-1/4)} + 0 + 1/4 {(- 1) / (x-1/4) ^ 2} = 0 ... (ast) rArr 8 (x-1/4) = 1 / {4 (x-1/4) ^ Preberi več »

Predvidevam, da gre za napako ali pa je to "trik" vprašanje. 1 ^ x = 1 za vse x, zato ln1 ^ 1 = ln1 = 0 Zato je f (x) = e ^ xln1 ^ x = e ^ x * 0 = 0 za vse x. f je konstanta. Najmanjša in največja vrednost f sta 0. Preberi več »

Pa poglejmo. Naj bo funkcija y. : .y = f (x) = e ^ (x ^ 2) -x ^ 2e ^ x. Sedaj poiščite dy / dx in (d ^ 2y) / dx ^ 2. Sedaj sledite nekaterim korakom, podanim v naslednjem URL rarr http://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-of-f-x-3x-2-30x-74-on-oo-oo. Upam, da vam pomaga :) Preberi več »

Pri x = pi / 2 f '' (x) = - 1 imamo lokalni maksimumi in pri x = 3pi / 2, f '' (x) = 1 imamo lokalni minimum. Maksima je visoka točka, na katero se funkcija dvigne in nato spet pade. Kot tak je naklon tangente ali vrednost izpeljanke na tej točki enaka nič. Nadalje, ker bodo tangente na levo od maksimumov nagnjene navzgor, nato pa sploščene in nato nagnjene navzdol, bo naklon tangente stalno padal, tj. Vrednost drugega derivata bi bila negativna. Minima na drugi strani je nizka točka, na katero funkcija pade in se nato ponovno dvigne. Tangenta ali vrednost izpeljane vrednosti pri minimumu je tudi nič. Ker p Preberi več »

V bližini + -1.7. Glej graf, ki daje ta približek. Pozneje bi poskušal dati natančnejše vrednosti. Prvi graf razkriva asimptote x = 0, + -pi / 2 + -3 / 2pi, + -5 / 2pi, .. Upoštevajte, da ima tan x / x ^ 2 = (1 / x) (tanx / x) limit + -oo, pri x do 0 _ + - Drugi graf (ne ad-hoc) približuje lokalne ekstreme kot + -1,7. To bi pozneje izboljšal. Globalnih ekstremov ni. graf {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20, 20, -10, 10]} graf {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2, 2, -5, 5 ]} Preberi več »

X = 1.763 Vzemimo derivat lnx / e ^ x z uporabo kvocijskega pravila: f '(x) = ((1 / x) e ^ x-ln (x) (e ^ x)) / e ^ (2x) ae ^ x od vrha in ga premaknite navzdol v imenovalec: f '(x) = ((1 / x) -ln (x)) / e ^ x Najdi, ko f' (x) = 0 To se zgodi samo, ko števec je 0: 0 = (1 / x-ln (x)) Za to boste potrebovali grafični kalkulator. x = 1.763 Priključitev števila pod 1.763 bi vam dala pozitiven rezultat, medtem ko bi vključitev številke nad 1.763 dala negativen rezultat. To je torej lokalni maksimum. Preberi več »

Minima (0, 0) Maxima (-4/3, 1 5/27) Glede na - y = x ^ 2 (x + 2) y = x ^ 3 + 2x ^ 2 dy / dx = 3x ^ 2 + 4x (d) ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0x (3x + 4) = 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 x = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (0) + 4 = 4> 0 Pri x = 0; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Zato ima funkcija minima pri x = 0 pri x = 0, y = (0) ^ 2 (0 + 2) = 0 Minima ( 0, 0) pri x = -4 / 3; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (-4/3) + 4 = -4 <0 Pri x = -4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) <0 Zato ima funkcija maksimuma pri x = -4 / 3 pri x = -4 / 3; y = (- 4/3) ^ 2 (-4 / 3 + 2) = 1 5/27 Maxima (-4/3, 1 5/27) Og Preberi več »

Lokalni maksimum je 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 Lokalni minimum je 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 Za iskanje lokalnih ekstremov lahko uporabimo prvi izpit. Vemo, da bo pri lokalnem ekstremu vsaj prvi derivat funkcije enak nič. Torej, vzemimo prvi derivat in ga nastavimo na 0 in rešimo za x. f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 To enakost lahko enostavno rešimo s kvadratnim formula. V našem primeru a = -3, b = 6 in c = 10 kvadratna formula navaja: x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) Če vrnemo naše vrednosti v kvadratno formulo , dobimo x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 + - sqrt ( Preberi več »

MAX (0; 0) in MIN (-10 / 3,20 / 29) Izračunamo f '(x) = - x (3x + 10) / (x ^ 2-3x-5) ^ 2 f' '(x ) = 2 (3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25) / (x ^ 2-3x-5) ^ 3 tako da je f '(x) = 0, če je x = 0 ali x = -10 / 3 imamo še f' '(0) = - 2/5 <0 in f' '(- 10/3) = 162/4205> 0 Preberi več »

X = -5 f (x) = [(x-2) (x-4) ^ 3] / (x ^ 2-2) x ^ 2-2 = (x + 2) (x-2) Torej funkcija bo postal: f (x) = [(x-4) ^ 3] / (x + 2) Zdaj f '(x) = d / dx [(x-4) ^ 3] / (x + 2) f' (x) = [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 Za lokalno ekstremno točko f '(x) = 0 Torej [3 ( x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 = 0 [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] = 0 3 (x + 2) (x-4) ^ 2 = (x-4) ^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 Preberi več »

Relativni maksimum: (-1, 6) relativni minimum: (3, -26) Glede na: f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1 Poiščite kritične številke tako, da najdete prvo izpeljanko in jo nastavite enako nič: f '(x) = 3x ^ 2 -6x - 9 = 0 Faktor: (3x + 3) (x -3) = 0 Kritične številke: x = -1, "" x = 3 Uporabite drugi test izpeljave ugotovite, ali so te kritične številke relativni maksimumi ali relativni minimumi: f '' (x) = 6x - 6 f '' (- 1) = -12 <0 => "relativni max pri" x = -1 f '"( 3) = 12> 0 => "relativni min pri" x = 3 f (-1) = (-1) ^ 3 - 3 (-1) ^ 2 - 9 (-1) + 1 = 6 f (3) Preberi več »

1 + -2sqrt (3) / 3 Polinom je neprekinjen in ima neprekinjen derivat, tako da se ekstremi lahko najdejo z izenačenjem funkcije derivata z nič in reševanjem dobljene enačbe. Izvedena funkcija je 3x ^ 2-6x-1 in ima korenine 1 + -sqrt (3) / 3. Preberi več »

Obratne točke (lokalni ekstremi) se pojavijo, ko je derivat funkcije nič, tj. Ko je f '(x) = 0. to je, ko je 3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt (7/3). ker drugi derivat f '' (x) = 6x, in f '' (sqrt (7/3))> 0 in f '' (- sqrt (7/3)) <0, pomeni, da sqrt (7 / 3) je relativni minimum in -sqrt (7/3) relativni maksimum. Ustrezne vrednosti y lahko najdete tako, da se nadomestijo z izvirno enačbo. Graf funkcije omogoča preverjanje zgornjih izračunov. graf {x ^ 3-7x [-16,01, 16,02, -8,01, 8]} Preberi več »

(0,15), (4, -17) Lokalni ekstrem ali relativni minimum ali maksimum se bo pojavil, ko bo izvedenka funkcije 0. Torej, če najdemo f '(x), jo lahko nastavimo enako. do 0. f '(x) = 3x ^ 2-12x Nastavite enako 0. 3x ^ 2-12x = 0 x (3x-12) = 0 Vsak del nastavite na 0. {(x = 0), ( 3x-12 = 0rarrx = 4):} Ekstremi se pojavijo pri (0,15) in (4, -17). Poglejte jih na grafu: graf {x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42,66, 49,75, -21,7, 24,54]} Ekstremi ali spremembe v smeri so pri (0,15) in (4, - 17). Preberi več »

F (x) _max = (1.37, 8.71) f (x) _min = (4.63, -8.71) f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '(x) = 3x ^ 2-18x +19 f '' (x) = 6x-18 Za lokalne maksimume ali minimume: f '(x) = 0 Tako: 3x ^ 2-18x + 19 = 0 Uporaba kvadratne formule: x = (18 + -sqrt (18) ^ 2-4xx3xx19)) / 6 x = (18 + -sqrt96) / 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x ~ = 1.367 ali 4.633 Za testiranje lokalnega maksimuma ali minimuma: f '' (1.367) <0 -> Največja lokalna f '' (4.633)> 0 -> Lokalna Najmanjša f (1.367) ~ = 8.71 Lokalna Največja f (4.633) ~ = -8.71 Lokalna Najmanjši lokalni ekstremi so prikazani na grafu pod (f) spodaj. graf {x ^ Preberi več »

F (x) ima lokalni maksimum pri približno (0,1032, 15,0510), f (x) ima lokalni minimum pri pribl. (3,2301, -0,2362) f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) Uporabi pravilo izdelka. f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) Uporabi pravilo moči. f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1 Za lokalne ekstreme f '(x) = 0 Zato 3x ^ 2-10x + 1 = 0 Uporabi kvadratno formulo. x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) = (10 + -sqrt (88)) / 6 približno 3.2301 ali 0.1032 f '' (x ) = 6x-10 Za lokalni maksimum f '' <0 v ekstremni točki. Za lok Preberi več »

X_1 = -1 je maksimum x_2 = 1 je minimum Najprej poiščite kritične točke tako, da izenačite prvo izvedeno vrednost z ničlo: f '(x) = 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0 Kot x! = 0 lahko pomnožimo s x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac (1 + -sqrt (1 + 24)) 6 tako x ^ 2 = 1, ko je drugi koren negativen, in x = + - 1 Potem pogledamo znak drugega izvedenca: f '' (x) = 6x + 6 / x ^ 3 f '' (- 1) = -12 <0 f '' (1) = 12> 0, tako da je: x_1 = -1 največja x_2 = 1 je minimalni graf {x ^ 3-x + 3 / x [-20, 20, -10, 10] } Preberi več »

Lokalni maksimum ~ ~ -0.794 (pri x ~ ~ -0.563) in lokalni minimumi ~ ~ 18.185 (pri x ~ ~ -3.107) in ~~ -2.081 (pri x ~ 0.887) f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 Kritične številke so rešitve za 2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2 -8x-12 = 0. Nimam natančnih rešitev, toda z uporabo numeričnih metod bomo našli realne rešitve približno: -3.107, - 0.563 in 0.887 f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 Uporabi drugi test izpeljave: f '' (- 3,107)> 0, tako f (-3.107) ~ ~ 18.185 je lokalni minimum f &# Preberi več »

(1, e ^ -1) Uporabiti moramo pravilo izdelka: d / dx (uv) = u (dv) / dx + v (du) / dx:. f '(x) = xd / dx (e ^ -x) + e ^ -x d / dx (x):. f '(x) = x (-e ^ -x) + e ^ -x (1):. f '(x) = e ^ -x-xe ^ -x Na min / max f' (x) = 0 f '(x) = 0 => e ^ -x (1-x) = 0 Zdaj, e ^ x> 0 AA x v RR:. f '(x) = 0 => (1-x) = 0 => x = 1 x = 1 => f (1) = 1e ^ -1 = e ^ -1 Zato obstaja ena prelomnica pri (1) , e ^ -1) graf {xe ^ -x [-10, 10, -5, 5]} Preberi več »

Ta funkcija nima lokalnih ekstremov. f (x) = xlnx-xe ^ x pomeni g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Za x je lokalni ekstrem, g (x) mora biti nič. Pokazali bomo, da to ne velja za nobeno realno vrednost x. Upoštevajte, da g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Tako g ^ '(x) bo izginilo, če e ^ x = 1 / (x (x + 2)) To je transcendentalna enačba, ki jo je mogoče rešiti numerično. Ker je g ^ '(0) = + oo in g ^' (1) = 1-3e <0, koren leži med 0 in 1. In ker je g ^ {''} (0) <0 za vse pozitivne x, to je edini koren in ustreza maksimumu za Preberi več »

X_1 = 2.430500874043 in y_1 = -1.4602879768904 Največja točka x_2 = -1.0971675407097 in y_2 = -0.002674986072485 Najmanjša točka Določi derivat f (x) f '(x) = ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1 -x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) / [(x-2) (x-4) ^ 3] ^ 2 izenačite z nič ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) = 0 poenostavite (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 Faktoring skupnega izraza (x-4) ^ 2 * (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4)] = 0 (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x) = 0 (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 Vrednosti x so: x = 4 asimptota x_1 = (4 + sqrt (112)) / 6 = 2.430500874 Preberi več »

Polinomi so povsod diferencirani, zato poiščite kritične vrednosti tako, da preprosto poiščete rešitve za f '= 0 f' = 12x ^ 2 + 6x-6 = 0 Uporaba algebre za rešitev te preproste kvadratne enačbe: x = -1 in x = 1 / 2 Ugotovite, če je to min ali max, tako da vtaknete v drugi derivat: f '' = 24x + 6 f '' (- 1) <0, tako da je -1 največ f '' (1/2)> 0, tako da je 1/2 minimalno upanje, ki je pomagalo Preberi več »

F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Ta funkcija ima navpično asimptoto pri x = 2, približuje se 1 od zgoraj, ko x preide na + oo (vodoravna asimptota) in se približa 1 od spodaj, ko x gre do -oo. Tudi vsi derivati niso definirani pri x = 2. Obstaja ena lokalna minima pri x = 0, y = 0 (vse te težave za izvor!) Opomba, da boste morda želeli preveriti mojo matematiko, tudi najboljši izmed nas spustijo čuden negativni znak in to je dolgo vprašanje. f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Ta funkcija ima navpično asimptoto pri x = 2, ker je imenovalec nič, kadar je x = 2. Približuje se 1 od zgoraj, ker x preide na + oo (horizontalna asimptota) in s Preberi več »

Bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) bb r (t) = (4t ^ 2 + 3, 3t ^ 3) bbr (3) = (39,81) bb r '(t ) = (8t, 9t ^ 2) To je tangentni vektor. bb r '(3) = (24, 81) Tangentna linija je: bb l (lambda) = bb r (3) + lambda bb r' (3) = (39,81) + lambda (24, 81) lahko faktor vektorja smeri malo: bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) Preberi več »

Omejitev je 1/5. Glede na lim_ (xto0) sinx / (5x) Vemo, da je barva (modra) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Torej lahko prepišemo naš podan kot: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5 Preberi več »

Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C smo podali: int ln (xe ^ x) / (x) dx z uporabo ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx z uporabo ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x) + xln (e)) / (x) dx z uporabo ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx Delitev frakcije (x / x = 1): = t (ln (x) / x + 1) dx Ločevanje seštevanih integralov: = int ln (x) / xdx + int dx Drugi integral je preprosto x + C, kjer je C poljubna konstanta. V prvem integralu uporabimo u-substitucijo: Naj bo u enakovreden ln (x), zato du = 1 / x dx z uporabo u-substitucije: = u udu + x + C Integracija (poljubna konstanta C lahko Preberi več »

T = 0 in t = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 Kritične točke funkcije so tam, kjer je derivat funkcije nič ali nedefiniran. Začnemo z iskanjem izpeljave. To lahko naredimo s pravilom moči: d / dt (t ^ n) = nt ^ (n-1) s '(t) = 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t Funkcija je definirana za vsa realna števila, tako da ne bomo našli nobenih kritičnih točk na ta način, lahko pa rešimo za ničle funkcije: 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t (t ^ 2 + 3t-1) = 0 Uporaba ničelnega faktorja , smo videli, da je t = 0 rešitev. Rešimo lahko, če je kvadratni faktor enak nič z uporabo kvadratne formule: t = (- 3 + -sqrt (9 + 4)) / 2 = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 Preberi več »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C Preberi več »

Zaporedje ima enako obnašanje kot n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n, ko je n veliko, Izraz bi moral manipulirati le malo, da bi bila ta izjava jasna. Razdeli vse pojme z n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) ). Vse te omejitve obstajajo, ko n-> oo, zato imamo: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, tako da zaporedje teži na 0 Preberi več »

X in {-3/2, 3/2} To vprašanje dejansko sprašuje, kje so tangentne črte y = 1 / x (ki se lahko smatrajo za naklon v točki dotika) vzporedno z y = -4 / 9x + 7. Ker sta dve črti vzporedni, kadar imata isti nagib, je to enako vprašanju, kje ima y = 1 / x tangentne črte z naklonom -4/9. Nagib črte, ki se dotika y = f (x) pri (x_0, f (x_0)), je podan z f '(x_0). To skupaj z zgoraj navedenim pomeni, da je naš cilj rešiti enačbo f '(x) = -4/9, kjer je f (x) = 1 / x. Če vzamemo derivat, imamo f '(x) = d / dx1 / x = -1 / x ^ 2 Reševanje, -1 / x ^ 2 = -4/9 => x ^ 2 = 9/4:. x = + -3 / 2 Preberi več »

F '(x) = - sek ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) sin (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = sek ^ 2x g '(x) = - sek ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - sek ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) Preberi več »

Barva (modra) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Če: y = ln (x) <=> e ^ y = x S to definicijo za dano funkcijo: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x) Razlikovanje implicitno: e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^ (- 3x) Delitev po: barvi (bela) (88) bb (e ^ y) dy / dx = (1-3e ^ (- 3x)) / e ^ y Od zgoraj: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x):. dy / dx = barva (modra) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Preberi več »

Gottfried Wilhelm Leibniz je bil matematik in filozof. Veliko njegovih prispevkov v svet matematike je bilo v obliki filozofije in logike, vendar je veliko bolj znan po odkrivanju enotnosti med integralom in območjem grafa. V prvi vrsti je bil osredotočen na to, da bi račun vnesel v en sistem in izumil zapis, ki bi nedvoumno določal račun. Odkril je tudi pojme, kot so višji derivati, in podrobno analiziral proizvodna in verižna pravila. Leibniz se je v glavnem ukvarjal s svojo lastno izmišljeno notacijo, kot je: y = x, da bi označil funkcijo, v tem primeru je f (x) enako kot y dy / dx, da bi označil derivat funkcije intydx Preberi več »

Sir Isaac Newton je bil že dobro znan po svojih teorijah gravitacije in gibanju planetov. Njegov razvoj v računanju je bil najti način za poenotenje matematike in fizike gibanja in gravitacije planetov. Prav tako je predstavil pojem pravilo izdelka, pravilo verige, serijo Taylor in derivate, ki so višji od prvega derivata. Newton je večinoma delal s funkcijsko notacijo, kot je: f (x), da bi funkcijo f '(x) označil za izpeljavo funkcije F (x), da bi označil antiderivacijo funkcije. tako: "Naj" h (x) = f (x) g (x). "Torej" h "(x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x) Ta zapis je lahko za nekatere Preberi več »

V smislu resničnega življenja je diskontinuiteta enakovredna premikanju navzgor po svinčniku, če načrtujete funkcijo grafa. Glej spodaj Ob upoštevanju te ideje obstaja več vrst diskontinuitete. Izogibanje prekinitvam Neskončni diskontinuitet skoka in končni diskontinuitet skoka Te vrste lahko vidite na več spletnih straneh. na primer, ta končni diskontinuitet. Mathematicaly, kontuvantnost je enakovredna reči, da: lim_ (xtox_0) f (x) obstaja in je enaka f (x_0) Preberi več »

Funkcija ima diskontinuiteto, če ni natančno definirana za določeno vrednost (ali vrednosti); Obstajajo 3 vrste diskontinuitete: neskončna, točka in skok. Številne skupne funkcije imajo eno ali več prekinitev. Funkcija y = 1 / x na primer ni dobro definirana za x = 0, zato rečemo, da ima diskontinuiteto za to vrednost x. Glejte spodnji graf. Opazimo, da se krivulja ne križa pri x = 0. Z drugimi besedami, funkcija y = 1 / x nima y-vrednosti za x = 0. Na podoben način ima periodična funkcija y = tanx diskontinuitete pri x = pi / 2, (3pi) / 2, (5pi) / 2 ... V racionalnih funkcijah se pojavijo neskončne prekinitve, kadar je im Preberi več »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Ker je imenovalec je že faktorizirano, vse potrebno za delne frakcije rešimo za konstante: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Upoštevajte, da potrebujemo tako x kot konstantno obdobje na levem večinskem delu, ker je števec vedno 1 stopinja nižji od imenovalec. Lahko bi se pomnožili z imenovalcem na levi strani, toda to bi bilo ogromno dela, zato bomo lahko pametni in uporabili metodo prikrivanja. Ne bom podrobno pregledoval procesa, toda v bistvu moramo ugotoviti, kaj p Preberi več »

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Naš velik problem v tem integralu je koren, zato se ga želimo znebiti. To lahko naredimo z uvedbo zamenjave u = sqrt (2x-1). Derivat je torej (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Torej delimo s (in zapomnimo, delimo z recipročnostjo je isto kot pomnožimo s samo imenovalcem), da se integriramo glede na u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / preklic (sqrt (2x-1)) preklic (sqrt (2x-1)) du = int t ^ 2-1 Vse kar moramo storiti je, da izrazimo x ^ 2 v smislu u (ker ne morete integrirati x glede na u): u = sqrt (2x-1) u ^ 2 = 2x- 1 Preberi več »

C = 2/3 Da je f (x) neprekinjen pri x = 2, mora biti to res: lim_ (x-> 2) f (x) obstaja. f (2) obstaja (tu ni problema, ker je f (x) jasno definiran pri x = 2 Raziskujmo prvi postulat. Vemo, da mora biti meja leva in desna meja enaka. Matematično: lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) To tudi kaže, zakaj nas zanima le x = 2: to je edina vrednost x za ki je ta funkcija definirana kot različne stvari v desno in levo, kar pomeni, da obstaja možnost, da omejitve leve in desne strani niso enake. Poskušali bomo najti vrednosti 'c', za katere so te omejitve Če se vrnemo na delno funkcijo, vidimo, da je Preberi več »

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Razlikujte obe strani. Skozi drugo temeljno teoremijo računa na levi strani in proizvodna in verižna pravila na desni strani vidimo, da diferenciacija razkriva, da: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) (pix) (pix) ) Če pustite x = 2, pokaže, da je f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Vključite notranji izraz. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Ocenite. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 f (4) = 0 Preberi več »

(C) Ob ugotovitvi, da je funkcija f diferencialna v točki x_0, če je lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L, je dano informacijo učinkovito, da je f diferenčna pri 2 in da je f '(2) = 5. Zdaj, ko pogledamo izjave: I: Resnična diferenciacija funkcije na točki pomeni njeno kontinuiteto na tej točki. II: True Podane informacije se ujemajo z definicijo diferenciacije pri x = 2. III: False Izpeljava funkcije ni nujno neprekinjena, klasičen primer je g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x), če je x! = 0), (0, če je x = 0):}, ki je diferenciabilen pri 0, toda njegov derivativ ima diskontinuiteto 0. Preberi več »

Y = -48x - 79 Linija, ki se dotika grafa y = f (x) na točki (x_0, f (x_0)), je linija s naklonom f '(x_0) in poteka skozi (x_0, f (x_0)) . V tem primeru dobimo (x_0, f (x_0)) = (-2, 17). F '(x_0) moramo izračunati le kot naklon, nato pa ga vključiti v enačbo točke-naklon vrstice. Izračunamo derivat f (x), dobimo f '(x) = 8x ^ 3-8x => f' (- 2) = 8 (-2) ^ 3-8 (-2) = -64 + 16 = -48 Tangentna črta ima naklon -48 in poteka skozi (-2, 17). Tako je enačba y - 17 = -48 (x - (-2)) => y = -48x - 79 Preberi več »

F (x) = x Iščemo funkcijo f: RR rarr RR tako, da je rešitev f (x) = f ^ (- 1) (x) To pomeni, da iščemo funkcijo, ki je lastna inverzna. Ena od očitnih takšnih funkcij je trivialna rešitev: f (x) = x Vendar pa je temeljitejša analiza problema precej zapletena, kot so jo raziskali Ng Wee Leng in Ho Foo Him, kot je objavljeno v Journal of Mathematics . http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf Preberi več »

3 / (4a) (x ^ 3 - a ^ 3) = (xa) (x ^ 2 + a x + a ^ 2) (x ^ 4 - a ^ 4) = (x ^ 2-a ^ 2) ( x ^ 2 + a ^ 2) = (xa) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2) => (x ^ 3-a ^ 3) / (x ^ 4-a ^ 4) = (( prekliči (xa)) (x ^ 2 + a x + a ^ 2)) / ((prekliči (xa)) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2)) "Zdaj izpolni x = a:" = (3 a ^ 2) / ((2 a) (2 a ^ 2)) = 3 / (4a) "Prav tako lahko uporabimo l 'Hôpitalsko pravilo:" "Izpeljava števca in imenovalec donosi:" " ^ 2) / (4 x ^ 3) = 3 / (4x) "Zdaj izpolnite x = a:" "= 3 / (4a) Preberi več »

Začnemo z razlikovanjem po pravilu izdelka in pravilu verige. Naj bo y = u ^ (1/2) in u = x. y '= 1 / (2u ^ (1/2)) in u' = 1 y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) Zdaj, po pravilu izdelka; f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 f' (x) = 5 / (4sqrt (x)) Stopnja spremembe pri katerakoli točka na funkciji je podana z vrednotenjem x = a v derivat. Vprašanje pravi, da je hitrost spremembe pri x = 3 dvakratna hitrost spremembe pri x = c. Naš prvi poslovni red je najti stopnjo spremembe pri x = 3. rc = 5 / (4sqrt (3)) Stopnja spremembe pri x = c je nato 10 / (4sqrt (3)) = 5 / (2sqrt) (3)). 5 / (2sqrt (3)) = 5 Preberi več »

-1.11164 "To je sestavni del racionalne funkcije." "Standardni postopek se deli v delnih frakcijah." "Najprej iščemo ničle imenovalca:" x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x (x - 1) (x - 4) = 0 => x = 0, 1, ali 4 "Tako delimo v delnih frakcijah:" (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2 , 4A = 1 => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 "Torej imamo" (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) ln (| x-4 |) + C &q Preberi več »

Tangente so 25x-9y + 54 = 0 in y = x + 6 Naj bo naklon tangenta m. Enačba tangenta je torej y-6 = mx ali y = mx + 6 Zdaj pa si oglejte presečišče te tangente in podane krivulje y = (x + 2) / (x + 3). Pri tem dobimo y = mx + 6, pri tem dobimo mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) ali (mx + 6) (x + 3) = x + 2, tj mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 ali mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 To naj bi dalo dve vrednosti x, tj. Dve točki presečišča, tangenta pa preseže krivuljo le na eni točki. Torej, če je y = mx + 6 tangenta, bi morali imeti samo en koren za kvadratno enačbo, ki je možna onli, če je diskriminantna 0, tj. (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 a Preberi več »

Ima kritične točke samo za k> 0. Najprej izračunamo prvi derivat h (x). h ^ (prime) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k Zdaj, ko je x_0 kritična točka h, mora izpolnjevati pogoj h ^ (prime) (x_0) = 0 ali: h ^ (prime) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) Zdaj je naravni logaritem k samo za k> 0, torej ima h (x) samo kritične točke za vrednosti k> 0. Preberi več »

Pokličimo dolžino N in S strani x (noge) in druga dva, ki jih bomo klicali y (tudi v čevljih). Potem bo cena ograje: 2 * x * $ 10 za N + S in 2 * y * $ 15 za E + W Potem bo enačba za skupni strošek ograje: 20x + 30y = 480 Ločimo y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Področje: A = x * y, ki nadomešča y v enačbi, dobimo: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Da bi našli največjo vrednost, moramo razlikovati to funkcijo in nato nastaviti derivat na 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0, ki rešuje x = 12 Zamenjava v prejšnji enačbi y = 16-2 / 3 x = 8 Odgovor: N in S strani sta 12 čevljev E in W strani sta 8 metrov. Površina Preberi več »

Dy / dx = (3 sec ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Pravilo verige: (f @ g) '(x) = f' (g (x)) * g (x) Najprej ločite zunanjo funkcijo, pri čemer pustite notranjost sama, nato pa jo pomnožite z izpeljano notranjo funkcijo. y = tan sqrt (3x-1) dy / dx = sek ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx sqrt (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx (3x-1) ) ^ (1/2) = sek ^ 2 sqrt (3x-1) * 1/2 (3x-1) ^ (- 1/2) * d / dx (3x-1) = sek ^ 2 sqrt (3x-1) 1) * 1 / (2 sqrt (3x-1)) * 3 = (3 sek ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Preberi več »

1 f (n) = n ^ (1 / n) pomeni log (f (n)) = 1 / n log n Zdaj je lim_ {n -> oo} log (f (n)) = lim_ {n -> oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n -> oo} {d / (dn) log n} / {d / (dn) n} = lim_ {n-> oo} (1 / n) / 1 = 0 Od dnevnika x je neprekinjena funkcija, imamo log (lim_ {n do oo} f (n)) = lim_ {n do oo} log (f (n)) = 0 pomeni lim_ {n do oo} f (n) = e ^ 0 = 1 Preberi več »

Lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 iščemo: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) ) Ko ocenjujemo mejo, gledamo na obnašanje funkcije "blizu" točke, ne nujno na obnašanje funkcije "pri" zadevni točki, zato kot x rarr 0, v nobenem trenutku ne smemo upoštevati, kaj se zgodi pri x = 0, tako dobimo trivialni rezultat: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1 t = 1 Za jasnost je graf funkcije funkcije za vizualizacijo obnašanja okoli x = 0 grafa {sin (1 / x) / sin (1 / x) [-10, 10, -5, 5]} Treba je pojasniti, da funkcija y = sin (1 / x) / sin (1 / x) ni defini Preberi več »

Omejitev ne obstaja. Ko se x približa 1, argument, pi / (x-1) prevzame vrednosti pi / 2 + 2pik in (3pi) / 2 + 2pik neskončno pogosto. Torej greh (pi / (x-1)) prevzame vrednosti -1 in 1, neskončno večkrat. Vrednosti se ne sme približati eni omejitveni številki. graf {sin (pi / (x-1)) [-1.796, 8.07, -1.994, 2.94]} Preberi več »

"Glej pojasnilo" "Uporabi definicijo | x |:" f (x) = | x | => {(f (x) = x, x> = 0), (f (x) = -x, x <= 0):} "Sedaj dobimo:" {(f '(x) = 1, x> = 0), (f '(x) = -1, x <= 0):} "Torej vidimo, da je v x = 0 za f' (x) prekinitev." "Za vse ostalo je povsod drugačno." Preberi več »

Teleskopska serija 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n) )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1)) + sqrt (n)))) To je skrčljiva (teleskopska) serija. Prvi izraz je -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2. Preberi več »

Drugi preizkus izpeljanke nakazuje, da kritično število (točka) x = 4/7 daje lokalni minimum za f, medtem ko o naravi f pri kritičnih številkah (točkah) x = 0,1 ne pove ničesar. Če je f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3, potem pravilo o izdelku pravi f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) Nastavitev enaka nič in reševanje za x pomeni, da ima f kritične številke (točke) pri x = 0,4 / 7,1. Z uporabo izdelka ponovno postavite: f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ Preberi več »

Sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) Naj: S = x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n-1)) Če je nejasen učinek, potem je najboljša možnost za razširitev nekaj izrazov seštevanja: S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} {0a_0x ^ (1 ) + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...} Potem lahko vrnemo serijo nazaj v zapis "sigma": S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ ( n + 1)) Preberi več »

V = 8pi volumenske enote V bistvu je problem, ki ga imate: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Ne pozabite, da je volumen trdne snovi podan z: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Tako, naš izvirni Intergral ustreza: V = piint_0 ^ 4 (x) dx, ki je enak: V = pi [x ^ 2 / (2)] med x = 0 kot našo spodnjo mejo in x = 4 kot zgornjo mejo. Z uporabo Temeljnega izreka Izračuna nadomeščamo naše meje v naš integriran izraz kot odštejemo spodnjo mejo od zgornje meje. V = pi [16 / 2-0] V = prostorninske enote 8pi Preberi več »

Meja nam omogoča, da preučimo težnjo funkcije okoli določene točke, tudi če funkcija ni definirana na točki. Poglejmo spodaj navedeno funkcijo. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Ker je imenovalec nič, kadar je x = 1, je f (1) nedefiniran; vendar pa njena meja pri x = 1 obstaja in kaže, da se vrednost funkcije tam približa 2. lim_ {x do 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x do 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x do 1 } (x + 1) = 2 To orodje je zelo uporabno pri računanju, ko se naklon tangentne črte aproksimira z nagibi sekantnih črt z bližajočimi se presečnimi točkami, kar motivira definicijo derivata. Preberi več »

Barva (modra) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) To moramo implicitno razlikovati, ker nimamo funkcije v smislu ene spremenljivke. Ko razlikujemo y, uporabimo verigo: d / dy * dy / dx = d / dx Kot primer, če smo imeli: y ^ 2 To bi bilo: d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx V tem primeru moramo uporabiti pravilo izdelka o izrazu xy ^ 2 Pisanje sqrt (y) kot y ^ (1/2) y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 Razlikovanje: 1 / 2y ^ (-1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 Faktor ven dy / dx: dy / dx (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy) = - y ^ 2 delimo z (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy) dy / dx = (- y ^ 2 ) Preberi več »

V = 685 / 32pi kubičnih enot Najprej skicirajte grafe. y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-prestrezanje y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 In imamo to {(x = 0), (x = 1):} Torej so intercepti (0,0) in (1,0) Pridobite vrh: y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 Torej je vertex na (1/2, -1 / 4) Ponovite prejšnje: y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 In imamo to {(x = sqrt (3)) ), (x = -sqrt (3)):} Tako prestreženi so (sqrt (3), 0) in (-sqrt (3), 0) y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 Torej je vrh (0,3) Rezultat: Kako dobiti volumen? Uporabili bomo disk metodo! Ta metoda je preprosto: "Volume" = piint_a ^ Preberi več »

124.5 int_1 ^ 4 (2x ^ 3-2x + 4) dx = [((2x ^ 4) / 4) - ((2x ^ 2) / 2) + 4x] Z zgornjo mejo x = 4 in spodnjo mejo x = 1 Uporabite svoje omejitve v integriranem izrazu, tj. Odštejte spodnjo mejo od zgornje meje. = (128-16-16) - (1/2) -1 + 4) = 128-3 (1/2) = 124,5 Preberi več »

Točka infleksije so: ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) 1 - Najprej moramo najti drugo izvedbo naše funkcije. 2 - Drugič, izenačimo ta derivat ((d ^ 2y) / (dx ^ 2) z ničlo y = sinx + cosx => (dy) / (dx) = cosx-sinx => (d ^ 2y) / ( dx ^ 2) = - sinx-cosx Naprej, -sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0 Zdaj bomo to izrazili v obliki Rcos (x + lamda), kjer je lambda le akutni kot in R je določeno pozitivno celo število. Kot ta sinx + cosx = Rcos (x + lambda) => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda Ko izenačimo koeficiente sinx in cosx na obeh straneh enačbe, => Rcoslamda = 1 in Rsinlambd Preberi več »

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c Za smisel tega problema 4-9x ^ 2> = 0, torej -2/3 <= x <= 2/3. Zato lahko izberemo 0 <= u <= pi, tako da je x = 2 / 3cosu. S tem lahko spremenljivko x vključimo v integral z uporabo dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u) )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu tukaj uporabljamo to 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u in to za 0 <= u <= pi sinu> = 0. Zdaj bomo uporabili integracijo po delih, da bi našli intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u Preberi več »

Najprej moramo manipulirati izraz, da ga postavimo v bolj priročno obliko. Delajmo na izraz (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-h ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Zdaj jemljemo meje, kadar h-> 0 imamo: lim_ (h-> 0) ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4 Preberi več »

1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx) + 1) | + C Začnemo z u-zamenjavo z u = sqrt (tanx) Izpeljava u je: (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)), zato delimo s da za integracijo v zvezi z u (in ne pozabite, deljenje z ulomkom je enako kot pomnoževanje z njegovo vzajemnostjo): int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx) 2 / s ^ 2d Ker smo ne moremo integrirati x glede na u, uporabimo naslednjo identiteto: sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 To daje: int t 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du Ta preo Preberi več »

Najlažji način, da pomislite na dvojni integral, je kot prostornina pod površino v 3-dimenzionalnem prostoru. To je analogno razmišljanju o normalnem integralu kot o površini pod krivuljo. Če je z = f (x, y), potem je int_y int_x (z) dx dy volumen pod temi točkami, z, za domene, ki jih določa y in x. Preberi več »

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ n f '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) V tem primeru: sqrt ((x + 1) / (2x-1)) = ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2xx (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x 1)) ^ (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2) Preberi več »

Prvi korak je prepisati funkcijo kot racionalni eksponent f (x) = sin (x) ^ {1/2} Po tem, ko dobite svoj izraz v tej obliki, ga lahko ločite z verigo: V vašem primeru: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) Potem, 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x), ki je vaš odgovor Preberi več »

(dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Predvidevam, da želite poiskati (dy) / (dx). Za to najprej potrebujemo izraz za y v smislu x. Ugotavljamo, da ima ta problem različne rešitve, saj je tan (x) periodična funkcija, tan (x-y) = x ima več rešitev. Ker pa poznamo obdobje tangentne funkcije (pi), lahko naredimo naslednje: xy = tan ^ (- 1) x + npi, kjer je tan ^ (- 1) inverzna funkcija tangentnih vrednosti med vrednostmi med -pi / 2 in pi / 2 in faktor npi je bil dodan zaradi upoštevanja periodičnosti tangente. To nam daje y = x-tan ^ (- 1) x-npi, zato (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x, upoštevajte, da je faktor npi izginil. Preberi več »

Y = -2x + pi / 2 Če želite poiskati enačbo tangentne črte na krivuljo y = cos (2x) pri x = pi / 4, začnite tako, da vzamete derivat y (uporabite verigo). y '= - 2sin (2x) Sedaj vtaknite svojo vrednost za x v y': -2sin (2 * pi / 4) = - 2 To je naklon tangentne črte pri x = pi / 4. Da bi našli enačbo tangentne črte, potrebujemo vrednost za y. Preprosto priključite vašo x vrednost v izvirno enačbo za y. y = cos (2 * pi / 4) y = 0 Zdaj uporabite obliko nagiba točke, da bi našli enačbo tangentne črte: y-y_0 = m (x-x_0) Kjer je y_0 = 0, m = -2 in x_0 = pi / 4. To nam daje: y = -2 (x-pi / 4) Poenostavitev, y = -2x + pi / Preberi več »

Določen integral nad intervalom [a, b] od f je na začetku definiran za funkcijo f, ki vključuje [a, b] v svoji domeni. To pomeni: začnemo s funkcijo f, ki je definirana za vse x v [a, b] Nepravilni integrali razširijo začetno definicijo tako, da omogočijo, ali b, ali oba, da sta zunaj domene f (toda na 'robu'). tako da lahko iščemo omejitve) ali da v intervalu manjkajo leve in / ali desne končne točke (neskončni intervali). Primeri: int_0 ^ 1 lnx dx barva (bela) »sssssssssss« integrand, ki ni definiran pri 0 int_5 ^ 7 1 / (x ^ 2-25) dx barva (bela) »ssssss« integrand, ki ni definiran pri 5 int_1 Preberi več »

(dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Sklicujem se na http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyx -1? AnswerSuccess = 1, kjer smo ugotovili, da je x = tan (xu); (du) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) (za udobje sem zamenjal y z u). To pomeni, da če nadomestimo u z -y, ugotovimo, da za x = tan (x + y); - (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2), torej (dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2). Preberi več »

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Imamo int root3x / (root3x-1) dx Namestnik u = (koren 3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Ponastavitev u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Preberi več »

Dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Za dano funkcijo y = f (x) = uv kjer sta u in v obe funkciji x, dobimo: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Preberi več »

Če je cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0, dobimo f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) Kritične točke se pojavijo, ko (delf (x, y)) / (delx) = 0 in (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) sin (y) sin ( x) + cos (y) cos (x) + e ^ xtan (y) -e ^ xsec ^ 2 (y) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) -se ^ 2 (y)) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) - (1 + tan ^ 2 (y))) = cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) Ni pravega načina, kako najti rešitve, toda kritične točke se pojavijo, ko cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan Preberi več »

F (x) = lnx + 1 Neenakost razdelimo na 2 dela: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) Poglejmo (1) : Preuredimo, da dobimo f (x)> = lnx + 1 Poglejmo (2): Predvidevamo, da je y = x / e in x = ye. Še vedno izpolnjujemo pogoj y v (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lnye f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx tako f (y) = f (x). Iz rezultatov 2, f (x) = lnx + 1 Preberi več »

Pravilo moči: če je f (x) = x ^ n, potem je f '(x) = nx ^ (n-1) pravilo vsote: če je f (x) = g (x) + h (x), potem f' (x) = g '(x) + h' (x) Pravilo izdelka: če je f (x) = g (x) h (x), potem f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Količinsko pravilo: če je f (x) = g (x) / (h (x)), potem je f' (x) = (g '(x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 Pravilo verig: če je f (x) = h (g (x)), potem je f '(x) = h' (g (x)) g '(x) ali: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx Za več informacij: http://socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rules Preberi več »

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Primer taylorjeve serije, razširjene okoli 0, se imenuje Maclaurinova serija. Splošna formula za Maclaurinovo serijo je: f (x) = sum_ (n = 0) ^ o (0) / (n!) X ^ n Za izdelavo niza za našo funkcijo lahko začnemo s funkcijo za e ^ x in nato uporabite to, da ugotovite formulo za e ^ (- 2x). Da bi zgradili Maclaurinovo serijo, moramo ugotoviti n-ti derivat e ^ x. Če vzamemo nekaj derivatov, lahko zelo hitro vidimo vzorec: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x Dejansko je n-ti derivat e ^ x je samo e ^ x. To lahko Preberi več »

Nosilnost vrste je največja populacija te vrste, ki jo okolje lahko obdrži za nedoločen čas, glede na razpoložljive vire. Deluje kot zgornja meja za funkcije rasti prebivalstva. Na grafu, ob predpostavki, da je funkcija rasti prebivalstva prikazana z neodvisno spremenljivko (navadno t v primeru rasti populacije) na horizontalni osi in odvisni spremenljivki (populacija, v tem primeru f (x)) na navpični osi , nosilnost bo horizontalna asimptota. V normalnem poteku dogodkov, razen v izjemnih okoliščinah, prebivalstvo ne bo preseglo nosilne zmogljivosti. Vendar pa lahko nekatere ekstremne okoliščine (kot je nenaden pritok več Preberi več »

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Najprej nadomestimo: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1). druga substitucija: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split z uporabo delnih frakcij: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Zdaj imamo: -1 / (2 (v + 1)) Preberi več »

V učbeniku uporabljam (Stewart Calculus) kritično točko f = kritično število za f = vrednost x (neodvisna spremenljivka), ki je 1) v domeni f, kjer je f '0 ali ne obstaja. (Vrednosti x, ki izpolnjujejo pogoje Fermatove izreke.) Točka pregiba za f je točka na grafu (ima tako x kot y koordinate), pri kateri se konkavnost spremeni. (Zdi se, da drugi ljudje uporabljajo drugo terminologijo. Ne vem, da so se motili ali imajo samo drugačno terminologijo. Ampak v učbenikih, ki sem jih uporabljal v Združenih državah od zgodnjih 80. let, so vse to uporabili.) Preberi več »