Kaj so lokalni maksimumi in minimumi f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Odgovor:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ta funkcija ima navpično asimptotno vrednost # x = 2 #, pristopi #1# od zgoraj, ko gre x # + oo # (horizontalna asimptota) in pristopi #1# od spodaj, ko gre x # -oo #. Vsi derivati so nedoločeni na # x = 2 # prav tako. Obstaja en lokalni minimum na # x = 0 #, # y = 0 # (Vse te težave za izvor!)

Upoštevajte, da boste morda želeli preveriti mojo matematiko, tudi najboljši izmed nas bodo spustili čuden negativni znak in to je dolgo vprašanje.

Pojasnilo:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ta funkcija ima navpično asimptotno vrednost # x = 2 #, ker je imenovalec nič # x = 2 #.

Približuje se #1# od zgoraj, ko gre x # + oo # (horizontalna asimptota) in pristopi #1# od spodaj, ko gre x # -oo #, ker za velike vrednosti # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # z # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # za #x> 0 # in # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # za #x <0 #.

Da bi našli max / min, potrebujemo prvi in drugi derivat.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Uporabite pravilo količnika!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

Z uporabo pravila za pooblastila in verižno pravilo dobimo:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Zdaj smo malo poravnani …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Zdaj je drugi izpeljan kot prvi.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

To je grdo, vendar moramo samo priključiti in opaziti, kje se slabo obnaša.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Ta funkcija ni definirana na # x = 2 #, ta asimptota, vendar je videti povsod drugje.

Želimo vedeti, da je max / min …

nastavili smo # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # to je nič, kadar je števec nič in če imenovalec ni.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # ali # 4x (2-x) = 0 # To je nič # x = 0 # in # x = 2 #, vendar ne moremo imeti max / min, ker so izvedeni / funkciji nedefinirani, zato je edina možnost # x = 0 #.

"drugi test izpeljave"

Zdaj gledamo na drugi izpeljan, grd, kot je …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Podobno kot funkcija in prvi izpeljani to ni definirano na # x = 2 #, vendar je videti povsod drugje.

Priključimo # x = 0 # v # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, ni nič tako lepo število, da ga priključite?

#=128/256# vse to #1/2#

#1/2 >0# tako # x = 0 # je lokalni minimum.

Da bi našli y vrednost, jo moramo vključiti v funkcijo.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Poreklo!