Prosim, pomagajte rešiti to, ne morem najti rešitve. Vprašanje je najti f? Glede na f: (0, + oo) -> RR z f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x v (0, + oo)

Odgovor:

#f (x) = lnx + 1 #

Pojasnilo:

Neenakost razdelimo na dva dela:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Oglejmo si (1):

Preuredimo, da dobimo #f (x)> = lnx + 1 #

Oglejmo si (2):

Predvidevamo # y = x / e # in # x = ye #. Še vedno izpolnjujemo pogoj #y v (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= lny + 1 #

#y inx # tako #f (y) = f (x) #.

Od 2 rezultatov, #f (x) = lnx + 1 #

Odgovor:

Predpostavimo, da potem uporabite obliko.

Pojasnilo:

Glede na to, da vidimo, da f (x) omejuje ln (x), lahko predpostavimo, da je funkcija oblika ln (x). Predpostavimo splošno obliko:

#f (x) = Aln (x) + b #

To pomeni, da se vključijo pogoji

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Lahko odštejemo #Aln (x) + b # iz celotne enačbe najti

# - A (1-A) ln x - b le - 1 #

Flipping,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Če želimo, da je to res za vse x, vidimo, da je zgornja meja konstanta in #ln (x) # je brez omejitev, ta izraz je očitno enak 0. Zato je A = 1, pri čemer nas zapušča

# 1 le b le 1 pomeni b = 1 #

Torej imamo samo rešitev z #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #