Odgovor:
Popolnoma se konvergira.
Pojasnilo:
Uporabite test za absolutno konvergenco. Če vzamemo absolutno vrednost izrazov, dobimo serijo
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
To je geometrijska vrsta skupnega razmerja #1/4#. Tako se konvergira. Od obeh # | a_n | # zbližuje # a_n # konvergira popolnoma.
Upajmo, da to pomaga!
Odgovor:
# "To je preprosta geometrijska serija in se popolnoma ujema s" # # # "sum" = 16/5 = 3.2. "#
Pojasnilo:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", pod pogojem, da | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Vzemite" a = -1/4 ", potem imamo" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Sedaj je naša serija štirikrat večja kot prvi izraz 4."
# "Torej naša serija" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Odgovor:
Geometrična serija se popolnoma konvergira z
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Pojasnilo:
Ta serija je vsekakor izmenična serija; vendar pa izgleda tudi geometrično.
Če lahko določimo skupno razmerje, ki ga delijo vsi izrazi, bo serija v obliki
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Kje # a # je prvi mandat in # r # je skupno razmerje.
Moramo najti seštevek z uporabo zgornjega formata.
Vsak izraz razdelite z izrazom pred njim, da določite skupno razmerje # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Tako je ta serija geometrična, s skupnim razmerjem # r = -1 / 4 #in prvi mandat # a = 4. #
Serijo lahko napišemo kot
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Spomnimo se, da je geometrijska serija #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # konvergira # a / (1-r) # če # | r | <1 #. Torej, če se konvergira, lahko najdemo tudi njeno natančno vrednost.
Tukaj, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, zato serija konvergira:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Zdaj pa ugotovimo, ali se konvergira popolnoma.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
Odstranite izmenični negativni izraz:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Vzemite absolutno vrednost in povzročite izginjanje izmeničnega negativnega izraza:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Tako
#sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Vidimo # | r | = 1/4 <1 #, zato imamo še vedno konvergenco:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Serija konvergira popolnoma, s
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
