Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Odgovor:

Parabolae imajo točno en ekstrem, to je vertex.

je #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Od # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # povsod je funkcija povsod konkavna in ta točka mora biti minimalna.

Pojasnilo:

Imate dve koreni, da najdete vozlišče parabole: eno, uporabite račun, da bi našli, da je derivat nič; dva, izogibajte se računu za vsako ceno in dokončajte kvadrat. Uporabili bomo račun za prakso.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, moramo vzeti to izpeljano.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Z linearnostjo derivata imamo

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Uporaba pravila moči, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # imamo

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Nastavimo to enako nič, da bi našli kritične točke, lokalni in globalni minimumi in maksimumi ter včasih točke pregiba imajo ničelne derivate.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

zato imamo eno kritično točko # x = -9 / 2 # ali #-4 1/2#.

Da bi našli koordinato y kritične točke, v katero se podamo # x = -9 / 2 # nazaj v funkcijo, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Kritična točka / točka je #(-4 1/2, -19 1/4)#.

To vemo zato, ker #a> 0 #, to je največ.

Če želimo formalno ugotoviti, ali je to maksimum ali minimum, moramo opraviti drugi test izpeljave.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Drugi derivat je 2 pri vseh vrednostih x. To pomeni, da je povsod večja od nič, funkcija pa je povsod konkavna (s parabolo #a> 0 # navsezadnje), zato morajo biti ekstremi minimalni, to je vertex.