Naj bo f: Rise definirano od R do R. najti rešitev f (x) = f ^ -1 (x)?

Odgovor:

# f (x) = x #

Pojasnilo:

Iščemo funkcijo #f: RR rarr RR # takšno rešitev #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

To pomeni, da iščemo funkcijo, ki je njena lastna inverznost. Ena od očitnih takšnih funkcij je trivialna rešitev:

# f (x) = x #

Vendar pa je temeljitejša analiza problema precej zapletena, kot so raziskovali Ng Wee Leng in Ho Foo Him, kot je objavljeno v reviji združenja učiteljev matematike.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Odgovor:

Preverite spodaj.

Pojasnilo:

Skupne točke med # C_f # in #C_ (f ^ (- 1)) # če obstajajo, niso vedno v simetrali # y = x #. Tukaj je primer take funkcije: #f (x) = 1-x ^ 2 # #barva (bela) (a) #, # x ## v ## 0, + oo) #

graf {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

Vendar so le v simetrali in samo, če # f # je # # povečanje.

Če # f # takrat strogo narašča #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Če # f # ni strogo povečanje skupnih točk, ki jih najdemo z reševanjem sistema enačb

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Odgovor:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

Pojasnilo:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #barva (bela) (aa) #, # x ## v ## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #barva (bela) (aa) #, # AA ## x ## v ## RR #

tako # f # je # # v # RR #. Kot strogo monotonska funkcija je tudi "#1-1#"in kot ena do ena funkcija ima inverzno.

Rešiti moramo enačbo #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #