Kaj je integral (ln (xe ^ x)) / x?

Odgovor:

# # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Pojasnilo:

Dobili smo:

# # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Uporaba #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Uporaba #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Uporaba #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Delitev frakcije (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Ločevanje seštevanih integralov:

# = int # #ln (x) / xdx + dx #

Drugi integral je preprosto #x + C #, kje # C # je poljubna konstanta. Prvi integral, ki ga uporabljamo # u #- zamenjava:

Let #u enakovredno ln (x) #, zato #du = 1 / x dx #

Uporaba # u #- zamenjava:

# u udu + x + C #

Integracija (poljubna konstanta # C # lahko absorbira poljubno konstanto prvega nedoločenega integrala:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Nadomeščanje nazaj v smislu # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Odgovor:

#int (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Pojasnilo:

Začnemo z uporabo naslednje identitete logaritma:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Uporabimo to za integral, dobimo:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int l (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int l (x) / x + x / x dx = int l (x) / x + 1 dx = int l (x) / x dx + x #.

Za vrednotenje preostalega integrala uporabljamo integracijo po delih:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Pustil bom #f (x) = ln (x) # in #g '(x) = 1 / x #. Nato lahko izračunamo, da:

#f '(x) = 1 / x # in #g (x) = ln (x) #

Formulo za integracijo po delih lahko nato uporabimo za:

#int (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int l (x) / x dx #

Ker imamo integral na obeh straneh znaka enakosti, ga lahko rešimo kot enačbo:

Ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Če se vrnemo nazaj v izvirni izraz, dobimo naš končni odgovor:

#int (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #