Kaj je integral int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Odgovor:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Pojasnilo:

Naš velik problem v tem integralu je koren, zato se ga želimo znebiti. To lahko naredimo z uvedbo zamenjave # u = sqrt (2x-1) #. Derivat je torej

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Torej delimo s pomočjo (in se spomnimo, da je deljenje z vzajemnostjo enako, kot se množi s samo imenovalcem), da se integrira glede na # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / preklic (sqrt (2x-1)) preklic (sqrt (2x-1)) = int t

Zdaj moramo le izraziti # x ^ 2 # v smislu # u # (ker se ne morete integrirati # x # s spoštovanjem do # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

To lahko vključimo nazaj v naš sestavni del, da dobimo:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1

To se lahko oceni z uporabo pravila za obratno moč:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Ponovna vzpostavitev # u = sqrt (2x-1) #, dobimo:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #