Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = (x ^ 3-3) / (x + 6)?

Odgovor:

Ena resnična kritična točka te funkcije je #x približno -9.01844 #. Na tej točki se pojavi lokalni minimum.

Pojasnilo:

S kvocientnim pravilom je derivat te funkcije

#f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = (2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) #

Ta funkcija je enaka nič, če in samo če # 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0 #. Korenine tega kubika vključujejo negativno iracionalno (realno) število in dve kompleksni številki.

Pravi koren je #x približno -9.01844 #. Če vključite številko, ki je manj kot to, v # f '#, boste dobili negativen izhod in če vtičite številko, ki je večja od te # f '#, boste dobili pozitivni rezultat. Zato ta kritična točka daje lokalno najnižjo vrednost # f # (in #f (-9.01844) približno 244 # je najmanjša lokalna vrednost (izhod).

Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x ima lokalni minimum za x = 1 in lokalni maksimum za x = 3 Imamo: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x Funkcija je definirana v vsem RR kot x ^ 2 + 3> 0 AA x Kritične točke lahko identificiramo tako, da ugotovimo, kje je prvi derivat enak nič: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, tako da so kritične točke: x_1 = 1 in x_2 = 3 Ker je imenovalec vedno pozitiven, je znak f '(x) nasprotje znaka Števec (x ^ 2-4x + 3) Zdaj vemo, da je polinom drugega reda s pozitivnim vodilnim koeficientom pozit

Kakšni so lokalni ekstremi, sedežno mesto f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x -3y + 4?

Oglejte si spodnjo razlago Funkcija je f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 Delni derivati so (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 Pustiti (delf) / (delx) = 0 in (delf) / (dely) = 0 Potem, {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 Hessijeva matrika je Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) determinanta je D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 Zato ni sedlo. D (1,1)>

Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?

Lokalni maksimum 13 na 1 in lokalni minimum 0 na 0. Domen f je RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 pri x = -1 in f' (x) ne obstaja pri x = 0. Oba -1 in 9 sta v domeni f, tako da sta oba kritična števila. Test prvega izvedenega izpada: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (na primer pri x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (npr. x = -1 / 2 ^ 15) Zato je f (-1) = 13 lokalni maksimum. Na (0, oo), f '(x)> 0 (uporabite katero koli veliko pozitivno x) Torej je f (0) = 0 lokalni minimum.