Odgovor:
Prosimo, glejte spodnjo razlago
Pojasnilo:
Funkcija je
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Delni derivati so
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Let # (delf) / (delx) = 0 # in # (delf) / (dely) = 0 #
Potem, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Hessijeva matrika je
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Odločnica je
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Zato, Sedežnih točk ni.
#D (1,1)> 0 # in # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, obstaja lokalni minimum pri #(-3,3)#
Odgovor:
Lokalni minimum: #(-3,3)#
Pojasnilo:
Skupina točk, ki vključujejo obe ekstremi in sedeže, se najde, ko oboje # (delf) / (delx) (x, y) # in # (delf) / (dely) (x, y) # so enake nič.
Ob predpostavki # x # in # y # so neodvisne spremenljivke:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Torej imamo dve sočasni enačbi, ki sta srečno linearni:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Od prvega:
# y = -2x-3 #
Nadomestimo v drugo:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Nadomestite nazaj v prvo:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Torej obstaja ena točka, kjer prvi derivati enakomerno postanejo nič, bodisi ekstrem ali sedlo, pri # (x, y) = (- 3,3) #.
Izračunati moramo matrico drugih derivatov, Hessianovo matrico (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Tako
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Vsi derivati drugega reda so enakomerno konstantni ne glede na vrednosti # x # in # y #, zato ni treba posebej izračunati vrednosti za zanimivo točko.
Opomba Vrstni red diferenciacije ni pomemben za funkcije s kontinuiranimi sekundarnimi izvedenimi (Clairaultova teorema, aplikacija tukaj: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), zato pričakujemo, da # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, kot smo videli v zgoraj navedenem konkretnem rezultatu.
V tem primeru z dvema spremenljivkama lahko izpeljemo tip točke od determinante Hessian, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Oblika testa za upravljanje je navedena tukaj:
Vidimo, da je determinanta #>0#, in tudi # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Torej to zaključujemo #(-3,3)#, edina točka ničelnega prvega odvoda je lokalni minimum funkcije.
Kot preizkus zdrave pameti za enodimenzionalno funkcijsko vprašanje navadno objavljam graf, vendar Sokratov nima površine ali konture, ki je primerna za dvodimenzionalne funkcije, kolikor lahko vidim. Zato bom preplavil obe funkciji #f (-3, y) # in #f (x, 3) #, ki za nas ne označujejo celotne domene funkcije, ampak nam bodo pokazali minimum med njimi, ki se pojavi, kot se pričakuje pri # y = 3 # in # x = -3 #, ki ima enako vrednost funkcije # f = -5 # v vsakem primeru.
Kot #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graf {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
