Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Odgovor:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # ima lokalni minimum za # x = 1 # in lokalni maksimum za # x = 3 #

Pojasnilo:

Imamo:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

funkcija je definirana v vseh # RR # kot # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Kritične točke lahko identificiramo tako, da ugotovimo, kje je prvi derivat enak nič:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + 1 #

zato so kritične točke:

# x_1 = 1 # in # x_2 = 3 #

Ker je imenovalec vedno pozitiven, znak #f '(x) # je nasprotje znaka števca # (x ^ 2-4x + 3) #

Zdaj vemo, da je polinom drugega reda s pozitivnim vodilnim koeficientom pozitiven izven intervala med koreninami in negativnega v intervalu med koreninami, tako da:

#f '(x) <0 # za #x v (-oo, 1) # in #x v (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # za #x v (1,3) #

Takrat imamo to #f (x) # se zmanjšuje # (- oo, 1) #, Povečuje #(1,3)#in se spet zmanjšuje. t # (3, + oo) #, tako da # x_1 = 1 # mora biti lokalni minimum in. t # x_2 = 3 # mora biti lokalni maksimum.

graf {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}