Kaj so lokalni ekstremi f (x) = xlnx-xe ^ x?

Odgovor:

Ta funkcija nima lokalnih ekstremov.

Pojasnilo:

#f (x) = xlnx-xe ^ x pomeni #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Za # x # biti lokalni ekstrem, #g (x) # mora biti nič. Pokazali bomo, da se to ne dogaja za nobeno realno vrednost # x #.

Upoštevajte, da

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Tako #g ^ '(x) # izgine, če

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

To je transcendentna enačba, ki jo je mogoče rešiti numerično. Od #g ^ '(0) = + oo # in #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, koren leži med 0 in 1. In od takrat #g ^ {''} (0) <0 # za vse pozitivne # x #, to je edini koren in ustreza maksimumu za #g (x) #

Enostavno enačbo lahko precej enostavno rešimo, kar kaže na to #g (x) # ima največ na # x = 0.3152 # in največja vrednost je #g (0.3152) = -1.957 #. Ker je največja vrednost #g (x) # je negativna, ni vrednosti # x # pri katerem #g (x) # izgine.

Morda je poučno, če si to grafično ogledate:

graf {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Kot lahko vidite na zgornjem grafu, je funkcija #f (x) # dejansko ima najvišjo vrednost na # x = 0 # - vendar to ni lokalni maksimum. Spodnji graf kaže, da #g (x) equiv f ^ '(x) # nikoli ne vzame vrednosti nič.

graf {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}