Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Odgovor:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) približno 0,541 #

Pojasnilo:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Uporaba pravila izdelka

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2 lnx #

Za lokalne maksimume ali minimume: #f '(x) = 0 #

Let # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 ali z = -2 #

Zato za lokalni ali najmanjši obseg:

#lnx = 0 ali lnx = -2 #

#:. x = 1 ali x = e ^ -2 približno 0,135 #

Zdaj preglejte graf #x (lnx) ^ 2 # spodaj.

graf {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

To lahko opažamo poenostavljeno #f (x) # ima lokalni minimum na # x = 1 # in lokalni maksimum na #x in (0, 0,25) #

Zato: #f_min = f (1) = 0 # in #f_max = f (e ^ (- 2)) približno 0,541 #

Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x ima lokalni minimum za x = 1 in lokalni maksimum za x = 3 Imamo: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x Funkcija je definirana v vsem RR kot x ^ 2 + 3> 0 AA x Kritične točke lahko identificiramo tako, da ugotovimo, kje je prvi derivat enak nič: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, tako da so kritične točke: x_1 = 1 in x_2 = 3 Ker je imenovalec vedno pozitiven, je znak f '(x) nasprotje znaka Števec (x ^ 2-4x + 3) Zdaj vemo, da je polinom drugega reda s pozitivnim vodilnim koeficientom pozit

Kakšni so lokalni ekstremi, sedežno mesto f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x -3y + 4?

Oglejte si spodnjo razlago Funkcija je f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 Delni derivati so (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 Pustiti (delf) / (delx) = 0 in (delf) / (dely) = 0 Potem, {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 Hessijeva matrika je Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) determinanta je D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 Zato ni sedlo. D (1,1)>

Kaj so lokalni ekstremi f (x) = xlnx-xe ^ x?

Ta funkcija nima lokalnih ekstremov. f (x) = xlnx-xe ^ x pomeni g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Za x je lokalni ekstrem, g (x) mora biti nič. Pokazali bomo, da to ne velja za nobeno realno vrednost x. Upoštevajte, da g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Tako g ^ '(x) bo izginilo, če e ^ x = 1 / (x (x + 2)) To je transcendentalna enačba, ki jo je mogoče rešiti numerično. Ker je g ^ '(0) = + oo in g ^' (1) = 1-3e <0, koren leži med 0 in 1. In ker je g ^ {''} (0) <0 za vse pozitivne x, to je edini koren in ustreza maksimumu za