Kaj je integral int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

Odgovor:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e) ^ (2x)) + C #

Pojasnilo:

Najprej nadomestimo:

# u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 #

# (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / (2e ^ (2x)) #

#intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du #

Izvedite drugo zamenjavo:

# v ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv #

Razdeli z delnimi ulomki:

# 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) #

# 1 = A (v-1) + B (v + 1) #

# v = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# v = -1 #:

# 1 = -2A #, # A = -1 / 2 #

Zdaj imamo:

# -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) #

# int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) dv = 1/2 -ln (abs (v + 1)) + ln (abs (v-1)) + v + C #

Nadomeščanje nazaj # v = sqrt (u) #:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (u) +1)) + ln (abs (sqrt (u) -1)) + sqrt (u) + C #

Nadomeščanje nazaj # u = 1 + e ^ (2x) #

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e) ^ (2x)) + C #

Kaj je integral int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Naš velik problem v tem integralu je koren, zato se ga želimo znebiti. To lahko naredimo z uvedbo zamenjave u = sqrt (2x-1). Derivat je torej (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Torej delimo s (in zapomnimo, delimo z recipročnostjo je isto kot pomnožimo s samo imenovalcem), da se integriramo glede na u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / preklic (sqrt (2x-1)) preklic (sqrt (2x-1)) du = int t ^ 2-1 Vse kar moramo storiti je, da izrazimo x ^ 2 v smislu u (ker ne morete integrirati x glede na u): u = sqrt (2x-1) u ^ 2 = 2x- 1

Kaj je integral int (3x + 1) / (2x ^ 2 -6x + 5)) dx?

Glejte spodnji odgovor:

Kaj je integral int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Za zamenjavo lahko uporabimo cos (x). Zato uporabimo greh (x) kot naš vir. u = sin (x) Kar pomeni, da bomo dobili, (du) / (dx) = cos (x) Iskanje dx bo dalo, dx = 1 / cos (x) * du Zdaj zamenja originalni integral z zamenjavo, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du Lahko izničimo cos (x) tukaj, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Zdaj nastavitev za u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C