Kako ugotovimo, da se volumen trdne snovi, ki jo generira obračanje območja, omejenega z krivuljama y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2), vrti okoli y = 4?

Odgovor:

# V = 685 / 32pi # kubičnih enot

Pojasnilo:

Najprej skicirajte grafe.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-preseči

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # In to imamo # {(x = 0), (x = 1):} #

Tako so prestreženi #(0,0)# in #(1,0)#

Pridobite vrh:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Torej je vertex na #(1/2,-1/4)#

Ponovi prejšnje:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # In to imamo # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Tako so prestreženi # (sqrt (3), 0) # in # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Torej je vertex na #(0,3)#

Rezultat:

Kako dobiti količino? Uporabili bomo disk metoda!

Ta metoda je preprosto: # "Glasnost" = piint_a ^ po ^ 2dx #

Ideja je preprosta, vendar jo morate uporabljati pametno.

In to bomo storili.

Pokličimo naš volumen # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

Opomba: Vzamem # (4-y) # Ker # y # je le oddaljenost od # x #-oskro do krivulje, medtem ko želimo razdaljo od črte # y = 4 # na krivuljo!

Zdaj, da bi našli # a # in # b #, enačimo # y_1 # in # y_2 # in potem rešiti za # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = -1):} #

Od # a # pride prej # b #, # => a = -1 # in # b = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1##

# V_1 = (685pi) / 24 #

Isto velja za # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = barva (modra) ((685pi) / 32) #

Kako uporabiti metodo cilindričnih lupin, da bi našli prostornino trdne snovi, ki jo dobimo z obračanjem območja, omejenega z y = x ^ 6, in y = sin ((pix) / 2) se vrti okoli črte x = -4?

Glejte spodnji odgovor:

Kako najdete prostornino trdne snovi, ki jo generira obračanje omejenega območja z grafi y = -x + 2, y = 0, x = 0 okoli y-osi?

Glejte spodnji odgovor:

Kako najdete prostornino trdne snovi, ki jo dobimo z obračanjem območja, omejenega z y = x in y = x ^ 2 okoli osi x?

V = (2pi) / 15 Najprej potrebujemo točke, kjer se x in x ^ 2 ujemata. x = x ^ 2 x ^ xx = 0 x (x-1) = 0 x = 0 ali 1 Naše meje so 0 in 1. Ko imamo dve funkciji za volumen, uporabimo: V = piint_a ^ b (f) (x) ^ 2-g (x) ^ 2) dx V = piint_0 ^ 1 (x ^ 2-x ^ 4) dx V = pi [x ^ 3/3-x ^ 5/5] _0 ^ 1 V = pi (1 / 3-1 / 5) = (2pi) / 15