Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Odgovor:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Pojasnilo:

iščemo:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Ko ovrednotimo mejo, pogledamo obnašanje funkcije "blizu" točke, ki ni nujno obnašanje funkcije "pri" zadevni točki, torej kot #x rarr 0 #, v nobenem trenutku ne smemo razmišljati o tem, kaj se zgodi pri # x = 0 #, Tako dobimo nepomemben rezultat:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# lim_ (x rarr 0) t

# = 1 #

Za jasnost je graf funkcije, ki vizualizira obnašanje # x = 0 #

graf {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Pojasniti je treba, da je funkcija # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # je neopredeljeno na # x = 0 #

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Opredelitve omejitev funkcije, ki jo uporabljam, so enakovredne:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # če in samo za vsako pozitivno # epsilon #, obstaja pozitivno # delta # tako, da za vsak # x #, če # 0 <abs (x-a) <delta # potem #abs (f (x) - L) <epsilon #

Zaradi pomena "#abs (f (x) - L) <epsilon #"to zahteva za vse # x # z # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # je definiran.

To je za zahtevano # delta #, vse od # (a-delta, a + delta) # razen po možnosti # a #, je v domeni. t # f #.

Vse to nas pripelje do:

#lim_ (xrarra) f (x) # obstaja samo, če # f # je definiran v nekem odprtem intervalu, ki vsebuje # a #, razen morda na # a #.

(# f # mora biti opredeljena v nekaterih izbrisanih odprtih soseskah # a #)

Zato, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # ne obstaja.

Skoraj nepomemben primer

#f (x) = 1 # za # x # iracionalno realno (za racionalno definirano)

#lim_ (xrarr0) f (x) # ne obstaja.