Kakšna je vrednost? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Odgovor:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Pojasnilo:

Iščemo:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Tako števec kot imenovalec2 #rarr 0 # kot #x rarr 0 #. meja # L # (če obstaja) je nedoločene oblike #0/0#, in zato lahko uporabimo L'Hôpitalovo pravilo, da dobimo:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Zdaj, z uporabo temeljnega izreka računa:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

In,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

In tako:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Tudi to je nedoločena oblika #0/0#, in zato lahko ponovno uporabimo pravilo L'Hôpital, da dobimo:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Kar lahko ocenimo:

# L = (0) / (2-0) = 0 #