Kaj je Taylorjeva ekspanzija e ^ (- 2x) s središčem pri x = 0?

Odgovor:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Pojasnilo:

Primer serije Taylor se je razširil #0# se imenuje Maclaurinova serija. Splošna formula za serijo Maclaurin je:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ o ^ (0) / (n!) x ^ n #

Za izdelavo serije za našo funkcijo lahko začnemo s funkcijo za # e ^ x # in nato uporabite to, da ugotovite formulo za #e ^ (- 2x) #.

Da bi zgradili Maclaurinovo serijo, moramo ugotoviti n-ti derivat # e ^ x #. Če vzamemo nekaj derivatov, lahko zelo hitro vidimo vzorec:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

Pravzaprav je n-ti izpeljan iz # e ^ x # je prav # e ^ x #. To lahko vključimo v Maclaurinovo formulo:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Zdaj, ko imamo Taylorjevo serijo za # e ^ x #, lahko samo zamenjamo vse # x #je z # -2x # da bi dobili serijo za #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

kar je serija, ki smo jo iskali.

Tri točke delujejo na točko: 3 N pri 0 °, 4 N pri 90 ° in 5 N pri 217 °. Kaj je neto sila?

Nastala sila je "1.41 N" pri 315 ^. Močna sila (F_ "neto") je nastala sila (F_ "R"). Vsaka sila se lahko razreši v x-komponento in y-komponento. Poiščite x-komponento vsake sile tako, da pomnožite silo s kosinusom kota. Dodajte jih, da dobite nastalo x-komponento. Sigma (F_ "x") = ("3 N" * cos0 ^ @) + ("4 N" * cos90 ^ @) + ("5 N" * cos217 ^ @) "=" - 1 "N" y-komponenta vsake sile z množenjem vsake sile s sinusom kota. Dodajte jih, da dobite nastalo x komponento. Sigma (F_y) = ("3 N" * sin0 ^ @) + ("4 N" * sin90 ^ @)

Naj bo f funkcija, tako da (spodaj). Kaj mora biti res? I. f je stalen pri x = 2 II. f je diferenciabilen pri x = 2 III. Izvedba f je kontinuirana pri x = 2 (A) I (B) II (C) I in II (D) I in III (E) II in III

(C) Ob ugotovitvi, da je funkcija f diferencialna v točki x_0, če je lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L, je dano informacijo učinkovito, da je f diferenčna pri 2 in da je f '(2) = 5. Zdaj, ko pogledamo izjave: I: Resnična diferenciacija funkcije na točki pomeni njeno kontinuiteto na tej točki. II: True Podane informacije se ujemajo z definicijo diferenciacije pri x = 2. III: False Izpeljava funkcije ni nujno neprekinjena, klasičen primer je g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x), če je x! = 0), (0, če je x = 0):}, ki je diferenciabilen pri 0, toda njegov derivativ ima diskontinuiteto 0.

Kaj je Taylorjeva vrsta f (x) = arctan (x)?

F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} Poglejmo nekaj podrobnosti. f (x) = arctanx f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} Ne pozabite, da je geometrijska moč serije 1 / {1-x} = sum_ { n = 0} ^ infty x ^ n z zamenjavo x z -x ^ 2, Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Torej, f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Z integracijo, f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx z vstavitvijo integralnega znaka znotraj seštevanja, = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ nx ^ {2n} dx z močjo pravilo, = sum_ {n = 1}