Kaj je Taylorjeva vrsta f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Poglejmo nekaj podrobnosti.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Ne pozabite, da je serija geometrijskih moči

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

z zamenjavo # x # jo # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Torej, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

S povezovanjem, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

z vstavitvijo integralnega znaka znotraj seštevka, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

po pravilu Power, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Od #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Zato

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #