Kaj so lokalni ekstremi f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Odgovor:

#(0.14414, 0.05271)# je lokalni maksimum

#(1.45035, 0.00119)# in #(-1.59449, -1947.21451)# so lokalni minimumi.

Pojasnilo:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1)) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

To se ne šteje za lokalni ekstrem.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Za reševanje korenov te kubične funkcije uporabljamo Newton-Raphsonovo metodo:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

To je iterativni proces, ki nas bo približal korenu funkcije. Tukaj ne vključujem dolgotrajnega procesa, ampak ko sem prišel do prvega korena, lahko izvedemo dolgo delitev in rešimo preostalo kvadratno enostavno za druga dva korena.

Dobili bomo naslednje korenine:

# x = 0,14414, 1,45035 in -1,59449 #

Zdaj izvedemo prvi preizkus izpita in poskusimo vrednosti levo in desno od vsakega korena, da vidimo, kje je izpeljanka pozitivna ali negativna.

To nam bo povedalo, katera točka je največja in katera je minimalna.

Rezultat bo naslednji:

#(0.14414, 0.05271)# je lokalni maksimum

#(1.45035, 0.00119)# in #(-1.59449, -1947.21451)# so lokalni minimumi.

Na spodnjem grafu si lahko ogledate enega od minimalnih vrednosti:

V naslednjem pogledu je prikazan največji in drugi minimum: