Kaj vam 2. izvedeni test pove o obnašanju f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 pri teh kritičnih številkah?

Odgovor:

Drugi izvedeni preskus pomeni, da je kritična številka (točka) # x = 4/7 # daje lokalni minimum za # f # medtem ničesar o naravi # f # pri kritičnih številkah (točkah) # x = 0,1 #.

Pojasnilo:

Če #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, potem pravilo o izdelku pravi

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Nastavitev enaka nič in reševanje za # x # to pomeni # f # ima kritične številke (točke) na # x = 0,4 / 7,1 #.

Znova uporabite člen o izdelku:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Zdaj #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #, in #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Drugi izvedeni preskus torej pomeni, da je kritična številka (točka) # x = 4/7 # daje lokalni minimum za # f # medtem ničesar o naravi # f # pri kritičnih številkah (točkah) # x = 0,1 #.

Dejansko je kritična številka (točka) v # x = 0 # daje lokalni maksimum za # f # (in prvi izpeljani test je dovolj močan, da to nakazuje, čeprav drugi test izvedenih testov ni dal nobenih informacij) in kritično število (točka) pri # x = 1 # ne daje niti lokalnega maksimuma niti min za # f #, ampak (enodimenzionalno) "sedlo".