Kako najdete derivat tan (x - y) = x?

Odgovor:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Pojasnilo:

Predvidevam, da hočeš najti # (dy) / (dx) #. Za to najprej potrebujemo izraz za # y # v smislu # x #. Ugotavljamo, da ima ta problem različne rešitve, saj #tan (x) # je periodična funkcija, #tan (x-y) = x # imeli več rešitev. Ker pa poznamo obdobje tangentne funkcije (# pi #), lahko naredimo naslednje: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, kje #tan ^ (- 1) # je inverzna funkcija tangentnih vrednosti med # -pi / 2 # in # pi / 2 # in dejavnik # npi # dodana zaradi upoštevanja periodičnosti tangente.

To nam daje # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #zato # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, upoštevajte, da je dejavnik # npi # izginil. Zdaj moramo najti # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. To je precej zapleteno, vendar izvedljivo z uporabo izreka reverzne funkcije.

Nastavitev # u = tan ^ (- 1) x #, imamo # x = tanu = sinu / cosu #, Torej # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, z uporabo kvocientnega pravila in nekaterih trigonometričnih identitet. Uporaba teorema inverzne funkcije (ki pravi, da če # (dx) / (du) # je neprekinjeno in ni nič, imamo # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), imamo # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Zdaj moramo izraziti # cos ^ 2u # v smislu x.

Da bi to naredili, uporabljamo nekaj trigonometrije. S pravim trikotnikom s stranicami # a, b, c # kje # c # je hipotenuza in # a, b # priključen pod pravim kotom. Če # u # je kot, kjer je stran # c # seka stran # a #, imamo # x = tanu = b / a #. S simboli # a, b, c # v enačbah označujemo dolžino teh robov. # cosu = a / c # in z uporabo Pitagorjevega izreka najdemo # c = sqrt (^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. To daje # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, Torej # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Od # u = tan ^ (- 1) x #, lahko to nadomestimo v enačbo za # (dy) / (dx) # in našli # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.