Kaj so lokalni ekstremi f (x) = sinx na [0,2pi]?

Odgovor:

At # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # imamo lokalne maksimume in at # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # imamo lokalni minimum.

Pojasnilo:

Maksima je visoka točka, na katero se funkcija dvigne in nato spet pade. Kot tak je naklon tangente ali vrednost izpeljanke na tej točki enaka nič.

Nadalje, ker bodo tangente na levo od maksimumov nagnjene navzgor, nato pa sploščene in nato nagnjene navzdol, bo naklon tangente stalno padal, tj. Vrednost drugega derivata bi bila negativna.

Minima na drugi strani je nizka točka, na katero funkcija pade in se nato ponovno dvigne. Tangenta ali vrednost izpeljane vrednosti pri minimumu je tudi nič.

Ker pa bodo tangente na levi strani minima nagnjene navzdol, nato pa sploščene in nato nagnjene navzgor, bo naklon tangente stalno naraščal ali pa bo vrednost drugega derivata pozitivna.

Vendar so lahko ti maksimumi in minimumi bodisi univerzalni, t.j. maksimumi ali minimumi za celotno območje ali pa so lahko lokalizirani, t.j.

Poglejmo to s sklicevanjem na funkcijo, opisano v vprašanju, in za to najprej ločimo #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # in naprej # 0,2pi # je #0# na # x = pi / 2 # in # x = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # in ob # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # kar pomeni, da imamo lokalno maksimum, na # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # kar pomeni, da imamo lokalni minimumi.

graf {sinx -1, 7, -1.5, 1.5}