Odgovor:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
Pojasnilo:
Ker je imenovalec že faktoriziran, je za konstante potrebno rešiti vse delne frakcije:
# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #
Upoštevajte, da potrebujemo oba # x # in konstanten izraz na levem delu, ker je števec vedno za 1 stopnjo nižji od imenovalca.
Lahko bi se pomnožili z imenovalcem na levi strani, toda to bi bilo ogromno dela, zato bomo lahko pametni in uporabili metodo prikrivanja.
Ne bom podrobno pregledoval postopka, toda v bistvu, kar počnemo, je ugotoviti, kaj pomeni imenovalec enak nič (v primeru # C # je # x = 3 #), in jo priklopite na levo stran in ovrednotite, medtem ko zajemate faktor, ki ustreza konstanti, kar daje:
# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (besedilo (////)) (3-7)) = - 6/11 #
Enako lahko storimo # D #:
# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (besedilo (////))) = 35/51 #
Metoda prikrivanja deluje samo za linearne faktorje, zato smo prisiljeni rešiti za # A # in # B # z uporabo tradicionalne metode in množenjem z imenovalcem na levi strani:
# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #
Če pomnožimo skozi vse oklepaje in izenačimo vse koeficiente različnih # x # in stalne izraze, lahko ugotovimo vrednosti # A # in # B #. To je precej dolg izračun, zato bom pustil povezavo za tistega, ki ga zanima:
Klikni tukaj
# A = -79 / 561 #
# B = -94 / 561 #
To pomeni, da je naš integral:
#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2))
Prva dva je mogoče rešiti z uporabo preprostih u-substitucij imenovalcev:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2)
Preostali del lahko razdelimo na dva dela:
#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2)
Poklical bom levi Integral 1 in desni Integral 2.
Integral 1
Ta integral lahko rešimo z u-substitucijo # u = x ^ 2 + 2 #. Izvedena je # 2x #, tako da delimo s # 2x # integracijo v zvezi z # u #:
# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int odstopiti (x) / (2kredit (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #
Integral 2
Želimo, da se ta sestavni del vključi v obrazec # tan ^ -1 #:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
Če uvedemo zamenjavo z # x = sqrt2u #, bomo lahko spremenili naš integral v to obliko. Za integracijo glede na # u #, moramo se pomnožiti z # sqrt2 # (ker smo izvedli derivat v zvezi z # u # namesto # x #):
# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #
# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) 1 = (u ^ 2 + 1) du = 94 / 2sqrt2int
# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #
Dokončanje prvotnega integrala
Zdaj, ko vemo, kaj je Integral 1 in Integral 2 enako, lahko dokončamo izvirni integral, da dobimo naš končni odgovor:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
