Odgovor:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Pojasnilo:
Da bi ta problem imel smisel # 4-9x ^ 2> = 0 #, Torej # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Zato lahko izberemo a # 0 <= u <= pi # tako, da # x = 2 / 3cosu #. S tem lahko spremenljivko x vključimo v integralno uporabo # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # tukaj ga uporabljamo # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # in za # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Sedaj uporabljamo integracijo po delih # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Zato # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Torej smo našli #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, zdaj nadomestimo # x # nazaj za # u #, z uporabo # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, Torej #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
To lahko dodatno poenostavimo z uporabo definicij sinusov in kosinusov v smislu trikotnikov. Za pravokotni trikotnik s kotom # u # na enem od ne-desnih vogalov, # sinu = "nasprotna stran" / "najdaljša stran" #, medtem # cosu = "sosednja stran" / "najdaljša stran" #, saj vemo # cosu = (3x) / 2 #, lahko izberemo sosednjo stran # 3x # in najdaljša stran #2#. Z uporabo Pitagorjevega izreka najdemo nasprotno stran #sqrt (4-9x ^ 2) #, Torej #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Zato #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
