X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 ima en koren x = sqrt (2) + sqrt (3). Kaj so ostale tri korenine in zakaj?

Odgovor:

Ostale tri korenine so #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # in #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Glede zakaj, naj vam povem zgodbo …

Pojasnilo:

G. Rational živi v mestu Algebra.

Pozna vse številke obrazca # m / n # kje # m # in # n # so cela števila in #n! = 0 #.

On je zelo srečna reševanje polinomov # 3x + 8 = 0 # in # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, vendar jih je veliko.

Celo navidezno preprost polinom # x ^ 2-2 = 0 # se zdi nerazpoložljiv.

Njegov bogati sosed, gospod Real, se ga usmili. "Potrebujete kar kvadratni koren iz. T #2#. Tukaj greste. «S temi besedami g. Real preda skrivnostno bleščečo modro številko # R_2 # gospodu Rationalu. Vse to mu je povedano o tej številki # R_2 ^ 2 = 2 #.

Gospod Rational se vrne k svojemu študiju in se igra s to skrivnostno # R_2 #.

Čez nekaj časa ugotovi, da lahko dodaja, odšteva, množi in deli številke obrazca # a + b R_2 # kje # a # in # b # so racionalne in končajo s številkami enake oblike. To tudi opazi # x ^ 2-2 = 0 # druga rešitev, namreč # -R_2 #.

Zdaj lahko reši ne le # x ^ 2-2 = 0 #, ampak # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # in mnogi drugi.

Veliko drugih polinomov se še vedno izogne rešitvi. Na primer, # x ^ 2-3 = 0 #, toda gospod Real je vesel, da mu pokaže svetlečo zeleno številko # R_3 # ki to reši.

Gospod Rational kmalu ugotovi, da lahko izrazi vse številke, ki jih lahko poda # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, kje # a #, # b #, # c # in # d # so racionalni.

Nekega dne g. Rational naredi rešitev # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. To najde # x = R_2 + R_3 # je rešitev.

Preden išče več rešitev, naleti na svojega soseda, gospoda Reala. Zahvalil je gospodu Realu za darilo # R_2 # in # R_3 #, vendar ima poizvedbo o njih. "Pozabil sem vprašati:", pravi, "Ali so pozitivni ali negativni?". "Nisem si mislil, da bi ti bilo mar.", Je dejal gospod Real. "Dokler rešujete polinome z racionalnimi koeficienti, to pravzaprav ni pomembno. Pravila, ki ste jih našli za dodajanje, odštevanje, množenje in deljenje vaših novih številk, prav tako dobro delujejo z obema. imenuje # R_2 # večina ljudi kliče # -sqrt (2) # in tistega, ki ste ga klicali # R_3 # večina ljudi kliče #sqrt (3) #'.

Torej za nove številke g. Rationala v obrazcu # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # ni pomembno, ali # R_2 # in / ali # R_3 # so pozitivni ali negativni z vidika reševanja polinomov z racionalnimi koeficienti.

Q.1 Če so alfa, beta korenine enačbe x ^ 2-2x + 3 = 0, dobimo enačbo, katere korenine so alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 in beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5?

Q.1 Če so alfa, beta korenine enačbe x ^ 2-2x + 3 = 0, dobimo enačbo, katere korenine so alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 in beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5? Odgovor na podano enačbo x ^ 2-2x + 3 = 0 => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i Naj alpha = 1 + sqrt2i in beta = 1-sqrt2i Zdaj naj gama = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 => gama = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3 alfa -1 + 2alfa-1 => gama = (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alpha => gama = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i => gama = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 In naj delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 => delta = beta ^ 2 (beta-1) + beta + 5 => del

Zakaj so rešitve za kvadratne korenine pozitivne in negativne?

Glede na pozitivno realno število a, obstajata dve rešitvi enačbe x ^ 2 = a, ena je pozitivna, druga pa negativna. Pozitivni koren (ki ga pogosto imenujemo kvadratni koren) označujemo s sqrt {a}. Negativna rešitev x ^ 2 = a je - sqrt {a} (vemo, da če x izpolnjuje x ^ 2 = a, potem ( x) ^ 2 = x ^ 2 = a, zato, ker t } je rešitev, torej - sqrt {a}). Torej, za a> 0, sqrt {a}> 0, vendar obstajajo dve rešitvi za enačbo x ^ 2 = a, eno pozitivno (sqrt {a}) in eno negativno (- sqrt {a}). Za a = 0 dve rešitvi sovpadata s sqrt {a} = 0. Ker vsi vemo, da je kvadratni koren pojav, ko se celo število n pomnoži z njo, da bi nam dali

Zakaj so kvadratne korenine nerazumne? + Primer

Prvič, niso vse kvadratne korenine iracionalne. Na primer, sqrt (9) ima popolnoma racionalno rešitev 3 Preden gremo naprej, si poglejmo, kaj pomeni imeti iracionalno številko - to mora biti vrednost, ki gre večno v decimalni obliki in ni vzorec, kot je pi. In ker ima nikoli končno vrednost, ki ne sledi vzorcu, je ni mogoče zapisati kot ulomek. Na primer, 1/3 je 0,33333333, ampak zato, ker se ponavlja, ga lahko zapišemo kot frakcijo nazaj na vaše vprašanje. Nekateri kvadratni koreni, kot je sqrt (2) ali sqrt (20 so iracionalni, ker jih ni mogoče poenostaviti na celo število, kot je sqrt (25)), so lahko. decimalno število br