Kako pomnožite (4 + 6i) (3 + 7i) v trigonometrični obliki?

Najprej moramo pretvoriti ta dva števila v trigonometrične oblike.

Če # (a + ib) # je kompleksno število, # u # je njegova velikost in # alfa # potem je njegov kot # (a + ib) # v trigonometrični obliki zapišemo kot #u (cosalpha + isinalpha) #.

Velikost kompleksnega števila # (a + ib) # je podan z#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # in njegov kot je podan z # tan ^ -1 (b / a) #

Let # r # velikosti # (4 + 6i) # in # theta # biti njegov kot.

Velikost # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Kot # (4 + 6i) = Tan ^ -1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = theta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

Let # s # velikosti # (3 + 7i) # in # phi # biti njegov kot.

Velikost # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Kot # (3 + 7i) = Tan ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Zdaj,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = r (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

Tukaj imamo vse, kar je prisotno, če pa bi tukaj neposredno nadomestili vrednote, bi bila beseda grdo #theta + phi # najprej bomo izvedeli # theta + phi #.

# theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Vemo, da:

# tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#implies tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2)) 7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

To je vaš končni odgovor.

To lahko storite tudi z drugo metodo.

Najprej pomnožimo kompleksna števila in jih nato spremenimo v trigonometrično obliko, kar je veliko lažje kot to.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46i-42 = -30 + 46i #

Sedaj se spremeni # -30 + 46i # v trigonometrični obliki.

Velikost # -30 + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Kot # -30 + 46i = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #