Dva kota enakokrakega trikotnika sta pri (8, 3) in (5, 4). Če je območje trikotnika 4, kakšne so dolžine strani trikotnika?

Odgovor:

Dolžina strani je #sqrt 10, sqrt 10, sqrt 8 # in točke so # (8,3), (5,4) in (6,1) #

Pojasnilo:

Naj bodo točke trikotnika # (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3).

Površina trikotnika je A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

Glede na # A = 4, (x_1, y_1) = (8,3), (x_2, y_2) = (5,4) #

Če zamenjamo, imamo spodnjo enačbo območja:

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) / 2) = 4

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3 - 15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> Enačba 1

Razdalja med točkami #(8,3), (5,4)# z uporabo formule razdalje

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Razdalja med točkami # (x_3, y_3), (5,4) # z uporabo formule razdalje

#sqrt ((x_3 -5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Kvadriranje obeh strani in zamenjava # x_3 = 9 - 3y_3 # iz enačbe 1 dobimo kvadratno enačbo.

# (9-3y_3 - 5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

Faktoriziramo to # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 ali y = 2.2. y = 2,2 se lahko zavrže. Tretja točka mora biti torej (6,1).

Z izračunom razdalje za točke # (8,3), (5,4) in (6,1) #, dobimo # sqrt 8 # za dolžino osnove.