Par poštenih šestih kock se vrže osemkrat. Poišči verjetnost, da je rezultat, ki je večji od 7, dosežen največ petkrat?

Odgovor:

#~=0.9391#

Pojasnilo:

Preden se lotimo samega vprašanja, se pogovorimo o metodi reševanja.

Recimo, na primer, da hočem pojasniti vse možne rezultate, ko trikrat obrnem pošten kovanec. Lahko dobim HHH, TTT, TTH in HHT.

Verjetnost H je #1/2# in verjetnost za T je tudi #1/2#.

Za HHH in za TTT, tj # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # vsak.

TTH in HHT je tudi # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # vsak, ampak ker obstajajo trije načini, kako lahko dobim vsak rezultat, se konča # 3xx1 / 8 = 3/8 # vsak.

Ko povzamem te rezultate, dobim #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - kar pomeni, da imam sedaj vse možne rezultate flip kovanca.

Obvestilo, da če nastavim # H # biti # p # in imajo zato # T # biti # ~ p #in opazimo, da imamo črto iz Pascalovega trikotnika #(1,3,3,1)#, nastavili smo obliko:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

in v tem primeru dobimo:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Zdaj lahko rešimo problem.

Dobili smo število zvitkov kot 8, torej # n = 8 #.

# p # je vsota, ki je večja od 7. Da bi našli verjetnost, da dobimo vsoto, večjo od 7, poglejmo možne zvitke:

# ((barva (bela) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)

Od 36 možnosti, 15 zvitkov daje znesek, ki je večji od 36, kar daje verjetnost #15/36=5/12#.

S # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Lahko napišemo celotno vsoto možnosti - od pridobivanja vseh 8 zvitkov kot vsote, ki je večja od 7, vse do dobivanja vseh 8 zvitkov kot vsote 7 ali manj:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

vendar smo zainteresirani, da povzamemo samo tiste izraze, ki imajo več kot 7 zneskov, ki se dogajajo 5-krat ali manj:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Odgovor:

#0.93906#

Pojasnilo:

# "Torej P rezultat> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "se zgodi k krat na 8 metov" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(binomska porazdelitev)" #

# "z" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinacije)" #

# "Torej," #

#P "se zgodi največ 5-krat na 8 metov" #

# = 1 - P "se zgodi 6, 7 ali 8 krat na 8 metov" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#