1.cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + cos ^ 2 ((31π) / 24) + cos ^ 2 ((37π) / 24) =? rešiti

Odgovor:

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) = 2 #

Pojasnilo:

Zabavno. Ne vem, kako naj to naredim brez napak, zato bomo samo poskusili nekaj stvari.

Videti je, da se v igri ne kažejo komplementarni ali dopolnilni koti, zato je morda naša najboljša poteza začeti z dvojno formo kota.

#cos 2 theta = 2 cos ^ 2 theta - 1 #

# cos ^ 2 theta = 1/2 (1 + cos 2 theta) #

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) #

# = 4 (1/2) + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12) + cos ({31 pi} / 12) + cos ({37 pi} / 12)) #

Sedaj zamenjamo kote s koterminalnimi (tiste z enakimi trigonomskimi funkcijami) z odštevanjem # 2 pi.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12 -2pi) + cos ({31 pi} / 12 - 2pi) + cos ({37 pi} / 12 - 2pi)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos (- {5pi} / 12) + cos ({7pi} / 12) + cos ({13 pi} / 12)) #

Sedaj zamenjamo kote z dodatnimi koti, ki negirajo kosinus. Tudi minusov znak spustimo v argument kosinusa, ki ne spremeni kosinusa.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos (pi - {7pi} / 12) - cos (pi - {13 pi} / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (-pi / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (pi / 12)) #

# = 2 + 1/2(0) #

# = 2 #

Odgovor:

#2#

Pojasnilo:

To vemo, #cos (pi / 2 + theta) = - sintheta => barva (rdeča) (cos ^ 2 (pi / 2 + theta) = (- sintheta) ^ 2 = sin ^ 2theta #

Torej, #color (rdeča) (cos ^ 2 ((31pi) / 24) = cos ^ 2 (pi / 2 + (19pi) / 24) = sin ^ 2 ((19pi) / 2) … do (1) #

#and cos ((3pi) / 2 + theta) = sintheta => barva (modra) (cos ^ 2 ((3pi) / 2 + theta) = sin ^ 2theta #

# => barva (modra) (cos ^ 2 ((37pi) / 2) = cos ^ 2 ((3pi) / 2 + pi / 24) = sin ^ 2 (pi / 24) … do (2) #

Uporaba # (1) in (2) #

# X = cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + barva (rdeča) (cos ^ 2 ((31π) / 24)) + barva (modra) (cos ^ 2 (37π) / 24) #

# = cos ^ 2 (pi / 24) + cos ^ 2 ((19pi) / 2) + barva (rdeča) (sin ^ 2 ((19pi) / 2)) + barva (modra) (sin ^ 2 (pi / 24) #

# = {cos ^ 2 (pi / 24) + sin ^ 2 (pi / 24)} + {cos ^ 2 ((19pi) / 2) + sin ^ 2 ((19pi) / 2} #

# = 1 + 1 … do kot, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#=2#