Brez uporabe rešiti funkcijo kalkulatorja, kako rešiti enačbo: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Odgovor:

Nule so # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Pojasnilo:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Povedano nam je to # (x-5) # je dejavnik, zato ga ločite:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Povedano nam je to # (x + 2) # tudi dejavnik, zato ločite to:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Diskriminant preostalega kvadratnega faktorja je negativen, vendar lahko še vedno uporabljamo kvadratno formulo, da bi našli kompleksne korenine:

# x ^ 2-2x + 3 # je v obliki # ax ^ 2 + bx + c # z # a = 1 #, # b = -2 # in # c = 3 #.

Korenine so podane s kvadratno formulo:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3)) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + 2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Poskusimo, ne da bi to vedeli # (x-5) # in # (x + 2) # dejavniki.

Stalni izraz je enak izdelku korenin, torej

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Ta koeficient je celo število, katerega faktorji so #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Skušamo te vrednote, da to vidimo

#p (-2) = p (5) = 0 # pridobitev dveh korenin.

Polinom lahko predstavimo kot

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x - 5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Izračunamo desno stran in primerjamo obe strani

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Reševanje za # (a, b) # dobimo # a = -2, b = 3 #

Vrednotenje korenin # x ^ 2-2x + 3 = 0 # dobimo # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #