Kakšni so absolutni ekstremi f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) v [2,9]?

Odgovor:

Absolutni minimum je # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# ki se pojavi, ko # x = 9 #.

Absolutni maksimum je # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # ki se pojavi, ko # x = 2 #.

Pojasnilo:

Absolutni ekstremi funkcije so največje in najmanjše y-vrednosti funkcije na dani domeni. Ta domena nam je lahko dana (kot v tem problemu) ali pa je lahko domena same funkcije. Tudi ko smo podani domeni, moramo upoštevati domeno same funkcije, če izključimo vse vrednosti domene, ki smo jo dali.

#f (x) # vsebuje eksponent #1/3#, ki ni celo število. Na srečo, domena #p (x) = root3 (x) # je # (- oo, oo) # zato to dejstvo ni vprašanje.

Vendar moramo še vedno upoštevati dejstvo, da imenovalec ne more biti enak nič. Imenovalec bo enak nič #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Nobena od teh vrednosti ni v dani domeni #2,9#.

Zato se obrnemo na iskanje absolutnih ekstremov #2,9#. Absolutni ekstremi se pojavijo na končnih točkah domene ali na lokalnih ekstremih, to so točke, kjer funkcija spremeni smer. Lokalni ekstremi se pojavijo na kritičnih točkah, ki so točke v domeni, kjer je derivat enak #0# ali ne obstaja. Zato moramo najti derivat. Uporaba pravila količnika:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Če upoštevamo # -3x ^ (- 2/3) # iz števca imamo:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Vrednosti ni # x # na #2,9# kje #f '(x) # ne obstaja. Prav tako ni vrednosti na #2,9# kje #f '(x) = 0 #. Tako na določeni domeni ni kritičnih točk.

Z uporabo "testa kandidatov" najdemo vrednosti #f (x) # na končnih točkah. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Hitra preveritev naših kalkulatorjev kaže, da:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (absolutni maksimum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (absolutni minimum)

Kakšni so absolutni ekstremi f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 v [0,3]?

Pri [0,3] je najvišja vrednost 19 (pri x = 3), najnižja pa -1 (pri x = 1). Da bi našli absolutne ekstreme (kontinuirane) funkcije na zaprtem intervalu, vemo, da se morajo ekstremi pojavljati pri obeh kritnih številkah v intervalu ali na končnih točkah intervala. f (x) = x ^ 3-3x + 1 ima derivat f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 ni nikoli nedefinirano in 3x ^ 2-3 = 0 pri x = + - 1. Ker -1 ni v intervalu [0,3], ga zavržemo. Edina kritična številka, ki jo je treba upoštevati, je 1. f (0) = 1 f (1) = -1 in f (3) = 19. Torej, največje število je 19 (pri x = 3), najmanjša pa je -1 (pri x = 1).

Kakšni so absolutni ekstremi f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) v [1,4]?

Globalnih maksimumov ni. Globalni minimumi so -3 in se pojavijo pri x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, kjer je x f 1 f '(x) = 2x - 6 Absolutni ekstremi se pojavijo na končni točki ali na kritično število. Končne točke: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritična točka (s): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Pri x = 3 f (3) = -3 Globalnih maksimumov ni. Globalnih minimumov ni -3 in se pojavi pri x = 3.

Kakšni so absolutni ekstremi f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) v [oo, oo]?

X = 0 je največja vrednost funkcije. f (x) = 1 / (1 + x²) Iskanje f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Tako lahko vidimo, da obstaja edinstvena rešitev, f ' (0) = 0 In tudi, da je ta rešitev maksimalna funkcija, ker je lim_ (x do ± oo) f (x) = 0, in f (0) = 1 0 / tukaj je naš odgovor!