Uporaba integracije po delih,
# intx ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Ne pozabite, da integracija po delih uporablja formulo:
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
Ki temelji na pravilu izdelka za izvedene finančne instrumente:
#uv = vdu + udv #
Za uporabo te formule se moramo odločiti, kateri termin bo
Inverse Trig
Logaritmi
Algebra
Trig
Eksponente
To vam daje prednostni vrstni red, za katerega se uporablja izraz "
Zdaj imamo:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
Naslednje postavke, ki jih potrebujemo v formuli, so:
Izpeljava se pridobi z uporabo pravila moči:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
Za integral lahko uporabimo substitucijo.
uporabo
Zdaj imamo:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / pi) cospix #
Vključimo se v našo izvirno formulo Integracija po delih:
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
Zdaj smo ostali z drugim integralom, ki ga moramo še enkrat uporabiti za integracijo z deli. S potegom
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
Ta zadnji integral, ki ga lahko rešimo z zadnjim krogom zamenjave, nam da:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
Vstavljamo vse, kar smo našli skupaj, zdaj:
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #
Zdaj lahko poenostavimo negativne in oklepaje, da dobimo naš končni odgovor:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Ključno je, da se spomnite, da boste na koncu dobili verigo večih izrazov, ki bodo dodani ali odšteti skupaj. Nenehno delite sestavni del na manjše, obvladljive dele, ki jih morate slediti za končni odgovor.
Kako najdem integral int (ln (x)) ^ 2dx?
Naš cilj je zmanjšati moč ln x, tako da je integral lažje ovrednotiti. To lahko dosežemo z integracijo po delih. Upoštevajte formulo IBP: int u dv = uv - int v du Sedaj bomo pustili u = (lnx) ^ 2 in dv = dx. Zato je du = (2lnx) / x dx in v = x. Zdaj, ko sestavimo kose skupaj, dobimo: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Ta novi integral izgleda veliko bolje! Poenostavitev bita in sprostitev konstante spredaj daje: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Zdaj, da se znebimo naslednjega integrala, bomo naredili drugo integracijo po delih, ki dopuščajo u = ln x in dv = dx. Tako je du = 1 / x dx in v =
Kako najdem integral int (x * cos (5x)) dx?
Upoštevali bomo formulo za integracijo po delih, ki je: int u dv = uv - int v du Če želimo ta integral uspešno najti, bomo u = x in dv = cos 5x dx. Zato je du = dx in v = 1/5 sin 5x. (V je mogoče najti z uporabo hitre u-substitucije) Razlog, da sem izbral x za vrednost u, je, ker vem, da bom kasneje na koncu vključil v, pomnožen z derivatom u. Ker je izpeljava u samo 1, in ker integracija trigonomske funkcije sama po sebi ne pomeni, da je bolj zapletena, smo učinkovito odstranili x iz integrand in le skrbeti za sinus zdaj. Torej, če vključimo v IBP-ovo formulo, dobimo: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx Povl
Kako najdem integral int (x * e ^ -x) dx?
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Ta integral bo zahteval integracijo po delih. Upoštevajte formulo: int u dv = uv - int v du Naj bo u = x in dv = e ^ (- x) dx. Zato je du = dx. Iskanje v bo zahtevalo zamenjavo u; Uporabil bom črko q namesto u, ker že uporabljamo u pri integraciji po delih. v = int e ^ (- x) dx naj q = -x. torej, dq = -dx Prepisali bomo integral, dodali dve negativi, da bi se prilagodili dq: v = -int -e ^ (- x) dx Zapisano v smislu q: v = -int e ^ (q) dq Zato, v = -e ^ (q) Zamenjava nazaj za q nam daje: v = -e ^ (- x) Zdaj, ko pogledamo nazaj na IBP-ovo formulo,