Kako najdem integral int (ln (x)) ^ 2dx?

Kako najdem integral int (ln (x)) ^ 2dx?
Anonim

Naš cilj je zmanjšati moč #ln x # tako, da je integralno lažje oceniti.

To lahko dosežemo z integracijo po delih. Upoštevajte formulo IBP:

#int u dv = uv - int v du

Zdaj bomo pustili #u = (lnx) ^ 2 #, in #dv = dx #.

Zato, #du = (2lnx) / x dx #

in

#v = x #.

Zdaj, ko sestavimo kose skupaj, dobimo:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Ta novi integral izgleda veliko bolje! Poenostavitev in vnašanje konstantnega napredka prinaša:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Zdaj, če se želimo znebiti tega naslednjega integrala, bomo naredili drugo integracijo po delih, ki dovoljujejo #u = ln x # in #dv = dx #.

Tako #du = 1 / x dx # in #v = x #.

Sestavljanje nam daje:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Zdaj je vse, kar je ostalo, še poenostaviti, pri tem pa ne pozabite dodati stalne integracije:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

In tam ga imamo. Ne pozabite, da je integracija po delih vsebinska # u # tako, da se neurejene stvari izločijo iz integrand. V tem primeru smo prišli # (ln x) ^ 2 # do #ln x #in nato do # 1 / x #. Na koncu, nekateri # x #je bil preklican in postalo je lažje za integracijo.