Kako najdem integral int (ln (x)) ^ 2dx?

Naš cilj je zmanjšati moč #ln x # tako, da je integralno lažje oceniti.

To lahko dosežemo z integracijo po delih. Upoštevajte formulo IBP:

#int u dv = uv - int v du

Zdaj bomo pustili #u = (lnx) ^ 2 #, in #dv = dx #.

Zato, #du = (2lnx) / x dx #

#v = x #.

Zdaj, ko sestavimo kose skupaj, dobimo:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Ta novi integral izgleda veliko bolje! Poenostavitev in vnašanje konstantnega napredka prinaša:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Zdaj, če se želimo znebiti tega naslednjega integrala, bomo naredili drugo integracijo po delih, ki dovoljujejo #u = ln x # in #dv = dx #.

Tako #du = 1 / x dx # in #v = x #.

Sestavljanje nam daje:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Zdaj je vse, kar je ostalo, še poenostaviti, pri tem pa ne pozabite dodati stalne integracije:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

In tam ga imamo. Ne pozabite, da je integracija po delih vsebinska # u # tako, da se neurejene stvari izločijo iz integrand. V tem primeru smo prišli # (ln x) ^ 2 # do #ln x #in nato do # 1 / x #. Na koncu, nekateri # x #je bil preklican in postalo je lažje za integracijo.

Kako najdem integral int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Uporaba integracije po delih, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Ne pozabite, da integracija po delih uporablja formulo: intu dv = uv - intv du Kateri temelji na pravilu izdelka za izvedene finančne instrumente: uv = vdu + udv Za uporabo te formule se moramo odločiti, kateri izraz bo u in kateri bo dv. Koristen način, da ugotovite, kateri izraz gre, kje je metoda ILATE. Inverse Trig Logarithms Algebra Trigent eksponencialne To vam daje prednostni vrstni red, katerega izraz se uporablja za "u", tako da vse, kar je ostalo, postane naš dv. Naša funkcija vsebuj

Kako najdem integral int (x * cos (5x)) dx?

Upoštevali bomo formulo za integracijo po delih, ki je: int u dv = uv - int v du Če želimo ta integral uspešno najti, bomo u = x in dv = cos 5x dx. Zato je du = dx in v = 1/5 sin 5x. (V je mogoče najti z uporabo hitre u-substitucije) Razlog, da sem izbral x za vrednost u, je, ker vem, da bom kasneje na koncu vključil v, pomnožen z derivatom u. Ker je izpeljava u samo 1, in ker integracija trigonomske funkcije sama po sebi ne pomeni, da je bolj zapletena, smo učinkovito odstranili x iz integrand in le skrbeti za sinus zdaj. Torej, če vključimo v IBP-ovo formulo, dobimo: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx Povl

Kako najdem integral int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Ta integral bo zahteval integracijo po delih. Upoštevajte formulo: int u dv = uv - int v du Naj bo u = x in dv = e ^ (- x) dx. Zato je du = dx. Iskanje v bo zahtevalo zamenjavo u; Uporabil bom črko q namesto u, ker že uporabljamo u pri integraciji po delih. v = int e ^ (- x) dx naj q = -x. torej, dq = -dx Prepisali bomo integral, dodali dve negativi, da bi se prilagodili dq: v = -int -e ^ (- x) dx Zapisano v smislu q: v = -int e ^ (q) dq Zato, v = -e ^ (q) Zamenjava nazaj za q nam daje: v = -e ^ (- x) Zdaj, ko pogledamo nazaj na IBP-ovo formulo,