Kaj je antiderivative (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Odgovor:

Odgovor je # x + arctan (x) #

Pojasnilo:

Najprej upoštevajte: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # lahko zapišemo kot # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

Izpelj iz #arctan (x) # je # 1 / (1 + x ^ 2) #.

To pomeni, da je antiderivative od # 1 / (1 + x ^ 2) # je #arctan (x) #

In na tej podlagi lahko pišemo: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

Zato

#int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Torej antivirusna # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # je #barva (modra) (x + arctan (x)) #

# "Opomba:" #

Ne zamenjujte # antiderivative # z nedoločen integral

Antiderivativen ne vključuje konstante. Dejansko iskanje antiderivative ne pomeni intergrate!

Kako najdete antiderivative (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Arctan (e ^ x) + C "napiši" e ^ x "dx kot" d (e ^ x) ", potem dobimo" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "z zamenjavo y =" e ^ x ", dobimo" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) ", ki je enako" arctan (y) + C "Zdaj nadomestimo nazaj" y = e ^ x: arctan (e ^ x) + C

Kaj je antiderivative konstante? + Primer

Zdi se mi enostavnejše, da najprej razmišljam o tem, kako gledamo na derivat. Mislim: kaj bi potem, ko se bo razlikovalo, povzročilo konstanto? Seveda, spremenljivka prve stopnje. Na primer, če je vaša diferenciacija povzročila f '(x) = 5, je očitno, da je antiderivativen F (x) = 5x Torej, antiderivative konstante je krat spremenljivka v vprašanju (se x, y, itd) Lahko bi to povedali, matematično: intcdx <=> cx Upoštevajte, da se c v celoti integrira: c: intcolor (zelena) (1) * cdx <=> cx To pomeni, da se razlikuje prva stopnja: f (x) ) = x ^ barva (zelena) (1), nato f '(x) = barva (zelena) 1 * x ^ (1-1)

Kaj je antiderivative 1 / sinx?

To je -ln abs (cscx + cot x) 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) t nasprotno ("negativno") izpeljave denomoinatorja. Antiderivativen je torej minus naravni logaritem imenovalca. - v abs (cscx + cot x). (Če ste se naučili tehnike zamenjave, lahko uporabimo u = cscx + cot x, zato du = -csc ^ 2 x - cscx cotx. Izraz postane -1 / u du.) Ta odgovor lahko preverite z razlikovanjem .