Kaj je antiderivative 1 / sinx?

Odgovor:

je # -ln abs (cscx + cot x) #

Pojasnilo:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

Števec je nasprotno (»negativno«) izpeljanke denomoinatorja.

Antiderivativen je torej minus naravni logaritem imenovalca.

# -ln abs (cscx + cot x) #.

(Če ste se naučili tehnike zamenjave, jo lahko uporabimo #u = cscx + posteljica x #, Torej #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. Izraz postane # -1 / u du #.)

Ta odgovor lahko preverite z razlikovanjem.

Drugačen pristop

# int1 / sinxdx # #=#

# intsinx / sin ^ 2xdx #

# intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Namestnik

# cosx = u #

# -sinxdx = du #

# sinxdx = -du #

#=# # -int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1)) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

Potrebujemo #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

Zato, # -int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2int (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2int (((u + 1) ') / (u + 1) - ((u-1)') / (u-1)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (c, c ') ## v ## RR #

Kaj je antiderivative konstante? + Primer

Zdi se mi enostavnejše, da najprej razmišljam o tem, kako gledamo na derivat. Mislim: kaj bi potem, ko se bo razlikovalo, povzročilo konstanto? Seveda, spremenljivka prve stopnje. Na primer, če je vaša diferenciacija povzročila f '(x) = 5, je očitno, da je antiderivativen F (x) = 5x Torej, antiderivative konstante je krat spremenljivka v vprašanju (se x, y, itd) Lahko bi to povedali, matematično: intcdx <=> cx Upoštevajte, da se c v celoti integrira: c: intcolor (zelena) (1) * cdx <=> cx To pomeni, da se razlikuje prva stopnja: f (x) ) = x ^ barva (zelena) (1), nato f '(x) = barva (zelena) 1 * x ^ (1-1)

Kaj je antiderivative (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Odgovor je x + arctan (x) Najprej upoštevajte, da: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) lahko zapišemo kot (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = Izpeljava arctan (x) je 1 / (1 + x ^ 2). To pomeni, da je antiderivat 1 / (1 + x ^ 2) arctan (x) In na tej podlagi lahko zapišemo: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) Zato je int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan (x) + c od (2 + x ^ 2) / (1

Dokaži (1 + sinx + icosx) / (1 + sinx-icosx) = sinx + icosx?

Glej spodaj. Uporaba de Moivrejeve identitete, ki navaja e ^ (ix) = cos x + i sin x imamo (1 + e ^ (ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) (1+) e ^ (- ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) OPOMBA e ^ (ix) (1 + e ^ (- ix)) = (cos x + isinx) (1+ cosx-i sinx) = cosx + cos ^ 2x + isinx + sin ^ 2x = 1 + cosx + isinx ali 1 + cosx + isinx = (cos x + isinx) (1 + cosx-i sinx)