Kako najdete antiderivative (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Odgovor:

#arctan (e ^ x) + C #

Pojasnilo:

# "napiši" e ^ x "dx kot" d (e ^ x) ", potem dobimo" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "z zamenjavo y =" e ^ x ", dobimo" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# ", ki je enako" #

#arctan (y) + C #

# "Sedaj nadomestimo nazaj" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Odgovor:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Pojasnilo:

Želimo najti # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Zdaj pa pustite # u = e ^ x # in tako je treba upoštevati razlike na obeh straneh # du = e ^ xdx #. Sedaj nadomestimo obe enačbi v integral, da dobimo

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

To je standardni integral, ki se ocenjuje na # arctanu #. Zamenjava za # x # dobimo končni odgovor:

#arctan e ^ x + "c" #

Odgovor:

eint x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Pojasnilo:

Najprej smo pustili # u = 1 + e ^ (2x) #. Za integracijo glede na # u #, delimo s derivatom # u #, kateri je # 2e ^ (2x) #:

ex x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u)

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u)

Za integracijo glede na # u #, potrebujemo vse, kar je izraženo v smislu # u #, za kaj moramo rešiti # e ^ x # je v smislu # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Sedaj lahko to vključimo nazaj v integral:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Nato bomo uvedli zamenjavo z # z = sqrt (u-1) #. Izvedeni finančni instrument je:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

zato ga delimo, da se integriramo glede na # z # (ne pozabite, da je delitev enaka množenju z vzajemnim):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u

Zdaj imamo ponovno napačno spremenljivko, zato moramo za kaj rešiti # u # je enako glede na. t # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

To daje:

dz = int 1 / (1 + z ^ 2) t

To je običajen derivat # tan ^ -1 (z) #, dobimo:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Razveljavitev vseh zamenjav dobimo:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #