Kako najdete antiderivative dx / (cos (x) - 1)?

Odgovor:

Naredite nekaj konjugiranega množenja, uporabite nekaj triglicerij in končajte, da dobite rezultat # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Pojasnilo:

Kot pri večini problemov tega tipa, ga bomo rešili z uporabo konjugiranega množenja. Kadarkoli imate nekaj, kar je deljeno z nečim, plus / minus nekaj (kot v # 1 / (cosx-1) #), vedno je koristno poskusiti konjugirano množenje, še posebej s trigonomskimi funkcijami.

Začeli bomo z množenjem # 1 / (cosx-1) # s konjugacijo # cosx-1 #, kateri je # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Morda se sprašujete, zakaj to počnemo. To je zato, da lahko uporabimo lastnost razlike kvadratov, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, v imenovalcu, da ga malo poenostavimo. Nazaj na težavo:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underskace (cosx) -name (1)) (podčrt (cosx) + underbrace1)) #

#barva (bela) (III) acolor (bela) (XXX) barva (bela) (XXX) acolor (bela) (XXX) b #

Opazite, kako je to v bistvu # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Kaj pa zdaj # cos ^ 2x-1 #? No, vemo # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. To pomnožimo z #-1# in poglejmo, kaj dobimo:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Izkazalo se je, da # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, zato zamenjajmo # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

To je enakovredno # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, ki se z uporabo nekaterih trigonometrov zlije do # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

Na tej točki smo poenostavili v integral # int1 / (cosx-1) dx # do # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. S pravilom vsote to postane:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Prva je # cscx # (ker je izpeljan iz # cscx # je # -cotxcscx #) in druga je # cotx # (ker je izpeljan iz # cotx # je # -csc ^ 2x #). Dodajte konstanto integracije # C # in imate rešitev:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #