Kakšne so vrednosti r (z r> 0), za katere se serija konvergira?

Odgovor:

#r <1 / e # je pogoj za konvergenco. t #sum_ (n = 1) ^ ali ^ ln (n) #

Pojasnilo:

Odgovoril bom samo na del o konvergenci, pri čemer je bil prvi del odgovora v pripombah. Lahko uporabimo # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # za ponovno pisanje vsote #sum_ (n = 1) ^ ali ^ ln (n) # v obliki

#sum_ (n = 1) ^ on ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {za} p = -ln (r) #

Serija na desni je serijska oblika za slavno funkcijo Riemann Zeta. Znano je, da se ta serija konvergira, ko #p> 1 #. Uporaba tega rezultata neposredno daje

# -ln (r)> 1 pomeni, da ln (r) <- 1 pomeni r <e ^ -1 = 1 / e #

Rezultat o funkcijah Riemann Zeta je zelo dobro znan, če želite ab initio odgovor, lahko poskusite integralni test za konvergenco.