Poišči vrednosti x, za katere je naslednja serija konvergentna?

Odgovor:

#1<>

Pojasnilo:

Pri določanju polmera in / ali intervala konvergence močnostnih serij, kot so ti, je najbolje uporabiti Ratio Test, ki nam pove za serijo # suma_n #, smo pustili

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Če #L <1 # serija je absolutno konvergentna (in zato konvergentna)

Če #L> 1 #, se serija razlikuje.

Če # L = 1, # Ratio Test je nejasen.

Za Power Series pa so možni trije primeri

a. Močnostni nizi se konvergirajo za vsa realna števila; njen interval konvergence je # (- oo, oo) #

b. Močnostna serija konvergira za določeno število # x = a; # njegov polmer konvergence je nič.

c. Najpogostejši primer je, da se serija moči pretvori v # | x-a |<> z intervalom konvergence. t # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Torej če # | 2x-3 | <1 #, serija konvergira. Toda to potrebujemo v obliki # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # konvergence. Polmer konvergence je # R = 1 / 2. #

Zdaj določimo interval:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Moramo ga priključiti # x = 1, x = 2 # v izvirno serijo, da vidimo, ali imamo konvergenco ali divergenco na teh končnih točkah.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # odstopa, seštevek nima omejitev in vsekakor ne gre na ničlo, samo izmenjuje znake.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # Divergenčni preskus tudi odstopa, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Zato serija konvergira za #1<>

Lahko uporabimo razmerje test, ki pravi, da če imamo serijo

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

definitivno je konvergenten, če:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

V našem primeru, # a_n = (2x-3) ^ n #, zato preverjamo omejitev:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) preklic ((2x-3)) ^ n)) / prekliči ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Torej moramo preveriti, kdaj # | 2x-3 | # je manj kot #1#:

Tu sem naredil napako, toda zgornji odgovor ima enako metodo in pravilen odgovor, zato si oglejte to.

Kakšne so vrednosti r (z r> 0), za katere se serija konvergira?

R <1 / e je pogoj za konvergenco suma (n = 1) ^ ali ^ nn (n). Samo odgovorim na del o konvergenci, pri čemer je bil prvi del odgovora v pripombah. Lahko uporabimo r ^ ln (n) = n ^ ln (r), da ponovno napišemo vsoto suma (n = 1) ^ oor ^ ln (n) v obliki sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {za} p = -ln (r) Serija na desni je serijska oblika za slavno funkcijo Riemann Zeta. Znano je, da ta serija konvergira pri p> 1. S tem rezultatom neposredno dobite -ln (r)> 1 pomeni, da ln (r) <- 1 pomeni r <e ^ -1 = 1 / e Rezultat o Riemannovih funkcijah Zeta je zelo dobro znan, če želite ab

Ali je prikazana serija popolnoma konvergentna, pogojno konvergentna ali divergentna? 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...

Popolnoma se konvergira. Uporabite test za absolutno konvergenco. Če vzamemo absolutno vrednost izrazov, dobimo serijo 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... To je geometrijska serija skupnega razmerja 1/4. Tako se konvergira. Od obeh | a_n | konvergira a_n konvergira absolutno. Upajmo, da to pomaga!

Ali je serija sum_ (n = 0) ^ infty1 / ((2n + 1)!) Absolutno konvergentna, pogojno konvergentna ali divergentna?

"Primerjaj jo z" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Vsak izraz je enak ali manjši od" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Vsi izrazi so pozitivni, tako da je vsota S zaporedja med" 0 <S <e = 2.7182818 .... " konvergenten. "