Kako poenostavite root3 (1)?

Odgovor:

#1# ali #1^(1/3)# =#1#

Pojasnilo:

Kubirani koren 1 je enak kot dvig 1 na moč #1/3#. 1 k moči vsega je še vedno 1.

Odgovor:

Delo v reals dobimo #root 3 {1} = 1 #.

Vsako ne-ničelno kompleksno število ima tri kocke, torej tam

#root 3 {1} = 1 ali -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Pojasnilo:

Če delamo v realnih številkah, samo zapišemo #root 3 {1} = koren 3 {1 ^ 3} = 1 #. Predvidevam, da gre za kompleksne številke.

Ena izmed nenavadnih stvari, ki jih odkrijemo, ko se poglobimo v kompleksna števila, je funkcija #f (z) = e ^ {z} # je periodična. Eksponentna rast je nekako nasprotje periodičnemu, zato je to presenečenje.

Ključno dejstvo je Eulerjeva identiteta na kvadrat. Kličem ga Eulerova prava identiteta.

# e ^ {2

Pokaže se Eulerjeva prava identiteta # e ^ z # je periodično z obdobjem # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Eulerjevo pravo identiteto lahko dvignemo na katerokoli celo moč # k #:

# e ^ {2

Kaj ima vse to opraviti s korenino kocke enega? To je ključ. Pravi, da obstaja precej neskončno število načinov pisanja. Nekatere imajo različne kocke kot druge. Zato eksponenti, ki niso celo število, povzročajo več vrednosti.

To je vse veliko. Ponavadi jih začnem s pisanjem:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # za celo število # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k) / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Zadnji korak je seveda Eulerjeva formula # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta.

Ker imamo # 2pi # periodičnosti trigonomskih funkcij (ki izhaja iz periodičnosti eksponentne in Eulerove formule) imamo edinstvene vrednosti za tri zaporedne # k #s. Ocenimo to za # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Tako dobimo tri vrednosti za kubični koren enega:

#root 3 {1} = 1 ali -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #