Kakšen je obseg kvadratne funkcije?

Odgovor:

Območje #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # je:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "če" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "če" a <0):} #

Pojasnilo:

Glede na kvadratno funkcijo:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # z #a! = 0 #

Kvadrat lahko dokončamo, da najdemo:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Za realne vrednosti # x # kvadratni izraz # (x + b / (2a)) ^ 2 # je negativna in ima najnižjo vrednost #0# kdaj #x = -b / (2a) #.

Nato:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Če #a> 0 # potem je to najmanjša možna vrednost #f (x) # in obseg #f (x) # je # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Če #a <0 # potem je to največja možna vrednost #f (x) # in obseg #f (x) # je # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Drug način gledanja na to je prepustiti #y = f (x) # in preverite, če obstaja rešitev # x # v smislu # y #.

Glede na:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Odštej # y # z obeh strani najti:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Diskriminant # Delta # te kvadratne enačbe je:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Za resnične rešitve potrebujemo #Delta> = 0 # in tako:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Dodaj # 4ac-b ^ 2 # na obe strani najti:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Če #a> 0 # potem lahko enostavno razdelimo obe strani # 4a # dobiti:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Če #a <0 # potem lahko obe strani razdelimo na # 4a # in obrnite neenakost, da dobite:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #