Funkcija f (x) = sin (3x) + cos (3x) je rezultat niza transformacij, pri čemer je prvi horizontalni prevod funkcije sin (x). Kateri od tega opisuje prvo transformacijo?

Odgovor:

Lahko dobimo graf # y = f (x) # od # ysinx # z naslednjimi transformacijami:

• horizontalni prevod # pi / 12 # radiani na levo

• raztezanje # Ox # s faktorjem lestvice #1/3# enot

• raztezanje # Oy # s faktorjem lestvice #sqrt (2) # enot

Pojasnilo:

Upoštevajte funkcijo:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Predpostavimo, da lahko zapišemo to linearno kombinacijo sinusa in kosinusa kot enofazno premaknjeno sinusno funkcijo, kar pomeni, da imamo:

# f (x) - = Asin (3x + alfa) #

= A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

= Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x # t

V tem primeru s primerjavo koeficientov # sin3x # in # cos3x # imamo:

# Acos alpha = 1 t in Asinalpha = 1 # t

Z razdeljevanjem in dodajanjem imamo:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Z delitvijo imamo:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

Tako lahko pišemo, #f (x) # v obliki:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

= sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

= sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Tako lahko dobimo graf # y = f (x) # od # ysinx # z naslednjimi transformacijami:

• horizontalni prevod # pi / 12 # radiani na levo
• raztezanje # Ox # s faktorjem lestvice #1/3# enot
• raztezanje # Oy # s faktorjem lestvice #sqrt (2) # enot

Kar lahko vidimo grafično:

Graf # y = sinx #:

graf {sinx -10, 10, -2, 2}

Graf # y = sin (x + pi / 12) #:

graf {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Graf # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

graf {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Graf # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

graph {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

In končno, graf prvotne funkcije za primerjavo:

graf {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}