Dva vogala trikotnika imajo kot (2 pi) / 3 in (pi) / 4. Če je ena stran trikotnika dolga 4, kakšen je najdaljši možni obseg trikotnika?

Odgovor:

# P_max = 28,31 # enot

Pojasnilo:

Problem vam daje dva od treh kotov v poljubnem trikotniku. Ker vsota kotov v trikotniku mora biti do 180 stopinj, ali # pi # radiani, lahko najdemo tretji kot:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Nariši trikotnik:

Problem navaja, da ima ena od strani trikotnika dolžino 4, vendar ne določa, na kateri strani. Vendar pa je v vsakem danem trikotniku res, da najmanjši stran je nasproti najmanjšega kota.

Če želimo maksimirati obod, moramo narediti stran, ki ima dolžino 4, nasprotno stran od najmanjšega kota. Glede na to, da bosta drugi dve strani večji od 4, je zagotovljeno, da bomo povečali obseg. Zato trikotnik izhaja iz:

Končno lahko uporabimo pravo sinusov najti dolžine drugih dveh strani:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Priključimo se:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Rešitev za x in y dobimo:

# x = 10.93 # in # y = 13,38 #

Zato je največji obseg:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Opomba: Ker težava ne določa enot dolžine na trikotniku, uporabite "enote".