Trikotnik ima vogale A, B in C, ki se nahajajo v (3, 5), (2, 9) oziroma (4, 8). Katere so končne točke in dolžina nadmorske višine, ki gredo skozi kot C?

Odgovor:

Končne točke #(4,8)# in #(40/17, 129/17) # in dolžino # 7 / sqrt {17} #.

Pojasnilo:

Očitno sem strokovnjak za odgovore na dve leti starih vprašanj. Nadaljujmo.

Višina skozi C je pravokotna na AB skozi C.

Obstaja nekaj načinov za to. Nagib AB lahko izračunamo kot #-4,# potem je naklon navpičnice #1/4# in najdemo srečanje pravokotnosti skozi C in črto skozi A in B. Poskusimo drugače.

Pokličimo nogo navpičnice #F (x, y) #. Vemo, da je točkovni izdelek vektorja smeri CF s smernim vektorjem AB nič, če so pravokotni:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

To je ena enačba. Druga enačba pravi #F (x, y) # je na liniji skozi A in B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Srečajo se, ko

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Dolžina CF nadmorske višine je

#h = {sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Preverimo to tako, da izračunamo območje s formulo za vezalke in nato rešimo višino. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frak 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #