Trikotnik ima vogale v (4, 1), (2, 4) in (0, 2) #. Katere so končne točke simetralnih trikotnikov?

Odgovor:

Enostavne končne točke so središča, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# in bolj težke so tam, kjer se bisektorji srečujejo z drugimi stranmi, med drugim #(8/3,4/3).#

Pojasnilo:

S pravokotno simetralo trikotnika verjetno mislimo na pravokotno simetralo vsake strani trikotnika. Torej za vsak trikotnik obstajajo tri pravokotne simetrale.

Vsaka pravokotna simetrala je definirana tako, da se na sredi seka ene strani. Prav tako se bo sekala ena od drugih strani. Predvidevali bomo, da sta to dve končni točki.

Središča so

# D = frak 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frak 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frak 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

To je verjetno dobro mesto za spoznavanje parametričnih predstavitev za črte in segmente linij. # t # je parameter, ki se lahko razteza preko reals (za linijo) ali od #0# do #1# za segment linije.

Označimo točke #A (4,1) #, #B (2,4) # in #C (0,2) #. Tri strani so:

# AB: (x, y) = (1-t) A + B #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Kot # t # gre od nič do enega.

Sprejmimo eno. # D # je sredina # BC #, # D = frak 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Smerni vektor od C do B je # B-C = (2,2) #. Za pravokotnico, obrnemo dva koeficienta (brez učinka, ker sta oba #2#) in zanikati eno. Torej parametrična enačba za pravokotnico

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Različna linija, različni parametri.) Vidimo, kje se to ujema z vsako stranjo.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # preveri, ali se pravokotna simetrala sreča s BC na njeni sredini.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Odštevanje, # t = 2-3 = - 1 #

To je izven območja, tako da pravokotna simetrala BC ne doseže strani AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Odštevanje, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

To daje drugi končni točki kot

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

To postaja dolgo, zato vam bom ostale dve končni točki.