Če je mogoče, poiščite funkcijo f tako, da je grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Odgovor:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Pojasnilo:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Zdaj vzemi" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Potem imamo en in isti f, ki izpolnjuje pogoje."

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Odgovor:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Pojasnilo:

V vprašanju imamo slabo notacijo, ker je del operator (ali operator gradienta) vektorski diferencialni operator, Iščemo funkcijo #f (x, y) # tako, da:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Kje #bb (grad) # je operater preliva:

# "grad" f = bb (grad) f = (delno f) / (delno x) bb (ul hat i) + (delno f) / (delno x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Od tega zahtevamo:

# f_x = (delno f) / (delno x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 t t ….. A

# f_y = (delno f) / (delno y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 t ….. B

Če integriramo A wrt # x #, med zdravljenjem # y # kot konstanta dobimo:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

= x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Če vključimo B wrt # y #, med zdravljenjem # x # kot konstanta dobimo:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

= 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Kje #u (y) # je poljubna funkcija # y # sam #v (x) # je poljubna funkcija # x # sam.

Očitno zahtevamo, da so te funkcije enake, zato imamo:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

In tako smo se odločili #v (x) = x ^ 4 # in #u (y) = y ^ 6 #, ki nam daje rešitev:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Rešitev lahko enostavno potrdimo z izračunom delnih derivatov:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED