Kaj je projekcija (4 i + 4 j + 2 k) na (i + j -7k)?

Odgovor:

Vektorska projekcija je #< -2/17,-2/17,14/17 >#, skalarna projekcija je # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Glej spodaj.

Pojasnilo:

Glede na # veca = (4i + 4j + 2k) # in # vecb = (i + j-7k) #, lahko najdemo #proj_ (vecb) veca #, vektor projekcijo # veca # na # vecb # po naslednji formuli:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To pomeni, da je točkovni produkt dveh vektorjev deljen z velikostjo # vecb #, pomnoženo z # vecb # deljena s svojo velikostjo. Druga količina je vektorska količina, ko vektor razdelimo s skalarjem. Upoštevajte, da delimo # vecb # zaradi njegove velikosti, da bi dobili a vektor (vektor z velikostjo #1#).Morda boste opazili, da je prva količina skalarna, saj vemo, da ko vzamemo točkovni produkt dveh vektorjev, je rezultat skalar.

Zato skalar projekcijo # a # na # b # je #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, tudi napisano # | proj_ (vecb) veca | #.

Začnemo lahko tako, da vzamemo točkovni produkt dveh vektorjev, ki ga lahko zapišemo kot # veca = <4,4,2> # in # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Potem lahko najdemo velikost # vecb # z upoštevanjem kvadratnega korena vsote kvadratov vsake komponente.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

In zdaj imamo vse, kar potrebujemo, da najdemo vektorsko projekcijo # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Koeficient lahko porazdelite na vsako komponento vektorja in zapišete kot:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Skalarna projekcija # veca # na # vecb # je samo prva polovica formule, kjer #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Zato je skalarna projekcija # -6 / sqrt (51) #, ki ne poenostavlja nadaljnjega, poleg racionalizacije imenovalca po želji, daje # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Upam, da to pomaga!