Kaj so vse vrednosti za k, za katere int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

in

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # ampak

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # in

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # tako

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

ali

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

potem končno

realne vrednosti #k = {-2,2} #

kompleksne vrednosti #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Odgovor:

# k = + - 2 #

Pojasnilo:

Zahtevamo:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integriramo:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 barva (bela) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 # t,

Predvidevam da #k v RR # (dejansko obstaja #6# korenine, #4# od tega so zapletene)

Zdaj, glede na kontekst problema, lahko to trdimo #k <2 # (tj # k = -2 #) ni veljaven kot #k> = 2 # da je notranja "pravilna" tako izključitev te rešitve, vendar brez kakršnega koli konteksta je smiselno vključiti obe rešitvi.

Upoštevajte tudi to #k = + - 2 # mogoče dokazati, da so rešitve brez dejanske integracije.

Prvič, lastnost določenih integralov je, da:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

tako lahko takoj vzpostavimo # k = 2 # je rešitev.

Drugič, # x ^ 5 # je čudno funkcijo in nenavadne funkcije izpolnjujejo:

# f (-x) = f (x) #

in imajo rotacijsko simetrijo glede izvora. kot taka, če #f (x) # potem je čudno:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

tako lahko takoj vzpostavimo # k = -2 # je rešitev.

Integracija in kasnejši izračuni pa dokazujejo, da so to edine rešitve!