Dva kota enakokrakega trikotnika sta pri (8, 1) in (1, 7). Če je površina trikotnika 15, kakšne so dolžine strani trikotnika?

Dva kota enakokrakega trikotnika sta pri (8, 1) in (1, 7). Če je površina trikotnika 15, kakšne so dolžine strani trikotnika?
Anonim

Odgovor:

Dve možnosti: (I) #sqrt (85), sqrt (2165/68), sqrt (2165/68) ~ = 9.220,5.643,5.643 # ali (II) #sqrt (170-10sqrt (253)), sqrt (85), sqrt (85) ~ = 3.308.9.220,9.220 #

Pojasnilo:

Dolžina dane strani je

# s = sqrt ((1-8) ^ 2 + (7-1) ^ 2) = sqrt (49 + 36) = sqrt (85) ~ = 9,220 #

Iz formule področja trikotnika:

# S = (b * h) / 2 # => # 15 = (sqrt (85) * h) / 2 # => # h = 30 / sqrt (85) ~ = 3.254 #

Ker je slika enakokračni trikotnik, bi lahko imeli Primer 1, kjer je osnova ednina, ilustrirana s sliko (a) spodaj

Ali pa bi lahko Primer 2 kjer je osnova ena od enakih strani, ilustrirana s sl. (b) in (c) spodaj

Za ta problem vedno velja primer 1, ker:

#tan (alfa / 2) = (a / 2) / h # => # h = (1/2) a / tan (alfa / 2) #

Toda obstaja pogoj, tako da se primer 2 prilagodi:

#sin (beta) = h / b # => # h = bsin beta #

Or # h = bsin gamma #

Od najvišje vrednosti #sin beta # ali #sin gamma # je #1#, najvišja vrednost # h #, v primeru 2, mora biti # b #.

V tem problemu je h manjša od strani, na katero je pravokotna, tako da za ta problem poleg primera 1, tudi primer 2 velja.

Razmišljanje o rešitvi Primer 1 (Slika (a)), # a = sqrt (85) #

# b ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = (30 / sqrt (85)) ^ 2+ (sqrt (85) / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = 900/85 + 85/4 = 180/17 + 85/4 = (720 + 1445) / 68 = 2165/68 # => # b = sqrt (2165/68) ~ = 5.643 #

Razmišljanje o rešitvi Primer 2 (oblika na sliki (b)), # b = sqrt (85) #

# b ^ 2 = m ^ 2 + h ^ 2 #

# m ^ 2 = b ^ 2-h ^ 2 = (sqrt (85)) ^ 2- (30 / sqrt (85)) ^ 2 = 85-900 / 85 = 85-180 / 17 = (1445-180) / 17 # => # m = sqrt (1265/17) #

# m + n = b # => # n = b-m # => # n = sqrt (85) -sqrt (1265/17) #

# a ^ 2 = h ^ 2 + n ^ 2 = (30 / sqrt (85)) ^ 2+ (sqrt (85) -sqrt (1265/17)) ^ 2 #

# a ^ 2 = 900/85 + 85 + 1265 / 17-2sqrt ((85 * 1265) / 17) #

# a ^ 2 = 180/17 + 85 + 1265 / 17-2 * sqrt (5 * 1265) #

# a ^ 2 = 1445/17 + 85-2 * 5sqrt (253) #

# a ^ 2 = 85 + 85-10sqrt (253) #

# a = sqrt (170-10sqrt (253)) ~ = 3.308 #